解析几何教案..doc

矢量与坐标 教学目的： 1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质; 2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律; 3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示; 4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。 教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。 教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。 教学时数：18学时 §1.1~§1.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量 由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习. §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理. 前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合 定义1.4.1 由矢量与数所组成的矢量 称为矢量的线性组合. 注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,也称为的线性组合. 2 线性关系 (1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于个矢量,如果存在不全为零的个数,使得： (1.4.1) 那么个矢量叫做线性相关。 推论:一个矢量线性相关的充要条件为 线性无关, 当且仅当： 时 例：判断下列向量组是相关还是无关？ (2)一些基本性质: 定理1.4.1 在时,矢量线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合. 证明： 定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关. 推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关. 定理1.4.3 矢量线性相关, 线性无关，则可写成 的线性组合。 即，且系数由唯一确定。 3线性组合及关系的几何意义： 定理1.4.4 矢量与矢量共线的充要条件和线性相关。 推论：如果矢量,那么可写成的线性组合,即 (1.4-2) 并且系数被唯一确定 定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关 证明： 若与共面 若 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。 若不平行如图。 反过来若与线性相关 推论：如果矢量不共线,那么矢量与共面的充要条件是可分解成的线性组合,即 (1.4-3) 并且系数被唯一确定 这里称为共面(平面)矢量的基底. 定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关 推论：如果矢量不共面,那么空间任意矢量可由线性表示或可分解成的线性组合,即 (1.4-3) 并且系数被唯一确定 这里称为空间矢量的基底. 总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理 例题见书上 课堂练习：P24 7，8，9 作业:P24,10题 1.5 标架与坐标 教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算. 引言 前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量,那么空间中任何矢量可由线性表示,即 （1） 并且这里的是唯一的一组有序实数. 我们把的集合称为仿射标架,记作, 称为向量在该标架下的坐标。标架分为右手系和左手系标架. 如果 i，j=1…3 称为直角标架，常用表示空间右手直角坐标系. 例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点， 设 关于0点的对称点为 关于面的对称点为 关于轴的对称点为 1矢量的基本坐标运算 (1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。. 特别称为点的径矢 ，则 (2) ，则 (3)设，则 例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分 2共线和共面向量的坐标性质 (1) 共线 当分母为0时，约定分子也为0 推论： 三个点A（），B（）和C（）共线的充要条件是