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2009届江苏省苏中四市二区联考高三数学试题 填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分） 1、若，且为纯虚数，则的值为 ； 2、已知集合，若，则实数的取值范围为 ； 3、若关于的不等式的解集为，则实数= ； 4、若向量满足则向量夹角大小为 ； 5、某次数学竞赛后，指导老师统计了所有参赛学生的成绩（成绩都为整数，满分120分）并且绘制了“得分情况分布图”如图，如果90分以上（含90分）获奖，那么该校学生的获奖率为 ； 6、若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ； 7、若，则的值为 ； 8、设是定义在R上的函数，且满足，如果 ，则 ； 9、已知正项数列的首项，前和为，若以为坐标的点在曲线则数列的通项公式为 ； 10、在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：，所填自然数分别为 ； 11、将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数的图象与函数的图象关于 对称，则函数的解析式为 （填上你认为可以成为真命题的一种情形，不必考虑所有情形）； 12、如果有穷数列满足条件：则称其为“对称”数列。例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列。已知在21项的“对称”数列中是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的所有项的和为 ； 13、设是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若，且，则”为真命题的是 （把你认为正确的结论的代号都填上）；①x为直线，y、z为平面，②x、y、z为平面，③x、y为直线，z为平面，④x、y为平面，z为直线，⑤x、y、z为直线。 14、已知，且是大于0的常数，的最小值为9，则= 。 解答题（本题共6小题，满分90分） 15（本题满分14分）已知是△ABC的两个内角，（其中是互相垂直的单位向量），若。 （1）试问是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由； （2）求的最大值，并判断此时三角形的形状。 16（本题满分14分） 已知：正方体，，E为棱的中点． ⑴求证：； ⑵求证：平面；⑶求三棱锥的体积 17（本题满分14分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立 （1）如果p是真命题，求实数的取值范围； （2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围。 18、（本题满分16分） 已知函数 (1) 若在上单调递增，求的取值范围； (2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”. 试证当时，为“凹函数”. 19（本题满分16分） 已知圆，直线 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B； 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； 若定点P（1，1）满足，求直线的方程。 20（本题满分16分）设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足： （1）求证：； （2）求的表达式； （3），试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论。 2009届江苏省苏中四市二区联考高三数学试题 必做题部分答案 一、填空题（每小题5分，共70分） 1、 -2 2、 1 3、 2 4、 1350 5、 43.75% 6、7、8、 1 9、 10、 2，2 11、 y轴， 12、 241 13、①③④ 14、 二、解答题（共6小题，满分90分） 15（本题满分14分） （1）， （定值） （2）由（1）可知A、B为锐角 所以的最大值为，此时三角形ABC为钝角三角形。 16⑴证明：连结，则//， ∵是正方形，∴． ∵面，∴． 又，∴面． ∵面，∴， ∴． ⑵证明：作的中点F，连结． ∵是的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，∴ ． ∵是的中点，∴， 又，∴． ∴四边形是平行四边形，//， ∵，， ∴平面面． 又平面，∴面． 17（本题满分14分） （1）恒成立 （2） “p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假 故 18（1）由，得 若函数为上单调增函数，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. 令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求.