例谈中考压轴题的存在性问题 东莞市清溪中学 杨东科例谈中考压轴题的存在性问题 东莞市清溪中学 杨东科.doc

例谈中考压轴题的存在性问题 东莞市清溪中学 杨东科 【摘要】 存在性问题是中考压轴题中常考的题型，涵盖的知识面广，对学生的要求较高，很多学生对此类问题束手无策.本文从二次函数、直线形几何、图形变化等三方面的存在性问题作解析，以得到解决此类存在性问题的解题策略，同时结合数学思想方法对该类型的存在性问题作点评. 【关键词】 存在性； 二次函数；直线形；图形变换；数学思想方法 存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，是今年来中考压轴题常见的题型。存在性问题往往与平面几何知识、函数知识、、三角形面积、三角形相似和全等、勾股定理相结合，同时要运用分类讨论、数形结合思想、方程思想等等数学思想方法综合解决问题，有些学生在解决这类问题时，会出现漏解、错解，甚至无从下手等现象。笔者多年在初三任教备战中考，对存在性问题作了一点分析和归纳，试图通过对2012年全国部分省市有关此类存在性问题的解析，以期帮助学生顺利找到解决此类问题的解题策略和注意的问题. 1 二次函数问题中的存在性 1．1 二次函数中动点与三角形的存在性 例1 （2012年临沂市第26题）如图1，点A在x轴上，OA=4，讲线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. （1）求点B的坐标； （2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）如图2，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，∴OC=OB=2， （2）∵抛物线经过原点O和点A、B，∴设抛物线解析式为， 将点A（4,0），B(-2，)代人，得，即， ∴抛物线的解析式为； （3）存在符合条件的点P. 如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，则，解得， 当时，在Rt△POD中，∠PDO=90°， sin∠POD=，∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上， ∴不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，）. ②若OB=PB，则，解得，故点P的坐标为（2，）. ③若OP=BP，则，解得，故点P的坐标为（2，）. 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，）. 点评：此题主要考查了二次函数知识的综合应用以及等腰三角形的性质、判断等知识，对于题目中“是否存在点P使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？”，由于没有明确等腰三角形的底和腰，所以要分类讨论，同时在求点P坐标时，还要充分注意图形的几何特点，采用数形结合和方程等数学思想方法的应用. 1．2 二次函数中动点与四边形的存在性 例2 （2012年安顺是第26题）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线 经过点A、B，且18a+c=0. （1）求抛物线的解析式 （2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度线终点C移动. ①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，。并写出t的取值范围； ②当S取最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意知点A（0，-12），∴c=-12，又18a+c=0，∴a=， ∵AB∥OC,且AB=6，∴抛物线的对称轴是，∴b=-4， ∴抛物线的解析式是； （2）①， ②当t=3是S取最大值为9.这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）， 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况： 当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标是（3，-18）代人抛物线的解析式中，所以存在，点R的坐标就是（3，-18）. 当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标是（3，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. 当点R在BQ的右边，且在PB上方是，点R的坐标是（9，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. 综上所述，满足条件的点R坐标为（3，-18）. 点评：此题由矩形OABC的边长写出矩形顶点的坐标，结合已知条件下不难求出抛物线的解析式，虽然是双动点的运动，但与B点构成的三角形不需要分类讨论。抛物线上的点R与P、B、Q三点组成平行四边形，由于没