八年级数学寒假专题1 等腰三角形冀教版八年级数学寒假专题1 等腰三角形冀教版.doc

初二数学寒假专题——等腰三角形冀教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 如何判断一个三角形是等腰三角形以及等腰三角形的性质．[来源:学科网] 2. 等腰三角形有关性质的应用． 二. 知识要点： 1. 等腰三角形的判断方法 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）． 2. 等边三角形的判断方法 （1）三边都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形也可以推导出三边相等． （3）三个内角都相等的三角形是等边三角形． 3. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线． （2）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）． （3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）． 4. 等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． （2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 三. 考点分析： 等腰三角形的相关内容在中考当中属于重点考查内容，在选择题和填空题中很容易出现，通常还会出现一道简单的解答或证明题，有时会出现复杂一点的探究题或操作题．总共分值大约会占到15分． 【典型例题】 例1. （1）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__________．[来源:Z§xx§k.Com] （2）如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）． A．250ｍ B．250ｍ C．ｍ D．250ｍ 分析：（1）本题是考查等腰三角形的判定，利用等角对等边可以添加∠ABD＝∠ACD；已知AD⊥BC于D，利用对称性可以添加：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD．（2）由于点A在北偏东60°的500m处，所以在Rt△AOB中，OA＝500m，∠AOB＝30°，所以AB＝OA＝250m． 解：（1）BD＝CD或∠ABD＝∠ACD等（2）A 例2. 如图所示，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数． 分析：由已知△APQ为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数． 解：因为PA＝PQ＝AQ， 所以∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°（等边三角形三个角都为60°） 因为PA＝PB，所以∠B＝∠PAB（等边对等角）． 又∠B＋∠PAB＝60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）． 所以∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°． 所以∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°． 评析：几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据． 例3. 已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，E、F分别为AB、AC上的点，且BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，说明：DG⊥EF． 分析：已知点G是EF的中点，要说明DG⊥EF，在△EFD中，如果能够证得DE＝DF，结论便可以得证． 解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C（等边对等角）． 又BD＝CF，BE＝CD，所以△EBD≌△DCF（SAS）， 所以DE＝DF． 所以△DEF也是等腰三角形， 因为点G是EF的中点， 所以DG⊥EF（“三线合一”）． 评析：当题目的已知或问题中出现：等腰三角形、顶角平分线、底边中线、底边上的高等语句时，可以考虑使用等腰三角形的“三线合一”来解题． [来源:Z#xx#k.Com] 例4. 如图所示，以△ABC的AB和AC为一边，在形外分别作等边△ACE、△ABD，说明：DC＝BE． 分析：已知条件中有两个等边三角形，结论是两条线段相等，应该考虑使用三角形全等，把DC和BE化归到两个三角形中，并且这两个三角形要含有已知的两个等边三角形的边或角．DC可以看成是△DBC或△ADC的边，BE可以看成是△BCE或△ABE的边，这四个三角形中△ADC和△ABE有可能全等． 解：因为△ABD和△ACE均为等边三角形， 所以∠1＝∠2＝60°，所以∠2＋∠BAC＝∠1＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE． 又因为AD＝AB，AC＝AE， 所以△ADC≌△ABE（SAS）． 所以DC＝BE（全等三角形的对应边相等）． 评析：向三角形外作等边三角形是常见的题型，解决这类问题的关键是充分利用等边三角形的特殊性质，把所求问题转化为对三