第七讲 从不定方程的整数解谈起.doc

第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起 　　　求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程 　　 　　显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 　　 　　 　　式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此 　　必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 　　个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了. 　　一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： 　　t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4， 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　成一种了。 　　以上情况推广到一般情况：求不定方程 　　 　　的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则 　　 　　就可得到全部解。 　　例如，求不定方程： 　　 　　（即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 　　按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 　　　 　　 　　　　 　　“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求： 　　 的整数解，例如求解 　　　 　　 　　　　　　 　　 　　 　　 　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 　　　　 （1，4），（2，2）.可有 　　 　　 　　并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数） 　　 　　 　　 　　故推断正确。 　　在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看 　　 　　（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成： 　　 　　它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。 　　公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。 　　 　　而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　分解。 　　上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要 　　）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种： 　　（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12） 　　（2，3），（2，4），（2，6），（2，12） 　　（3，4），（3，6），（3，12） 　　（4，6），（4，12） 　　（6，12） 　　 　　 　　 　　 　　 　　种情况即可. 　　子不是1的，例如 　　 　　 　　那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理， 求整数解呢？ 　　 　　 　　 　　约分后分母为15，所以[x，y]为15，2×15，3×15，…，以下分情况讨论。 　　y=15）的情况应排除。 　　析，如y大于15， 　　 　　 　　 　　③y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，…中某一个数的约数；≠单位分数， 　　∴排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。 　　 　　 　　从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯（Erds）猜想： 　　 　　学家柯召、孙琦等证明了n＜4×105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n107，1978年又将n推进到了n＜108。 　　另有谢平斯基（Sierpinski）猜想： 　来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。 　　 　　 　　分情况讨论： 　　　　 　　对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有 　　 　　 　　又3=x≤y，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解. 习题七 　　1. 求不定方程的全部整数解。 　　2. 求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。 　　3. 应用公式（5），