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中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，石景山，一模 已知：如图1，等边的边长为，一边在轴上且， 交轴于点，过点作∥交于点． （1）直接写出点的坐标； （2）若直线将四边形的面积两等分，求的值； （3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论： ① ②，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明． 【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1）；． （2）过点作于，交于点，取的中点． ∵是等边三角形，． ∴ ． 在中，． ∴． ∴． ∵∥交于，． ∴． ∵直线将四边形的面积两等分． ∴直线必过点． ∴，∴ （3）正确结论：①． 证明：可求得过的抛物线解析式为 ∴． ∵． ∴． 由题意． 又∵ ∴ ∴≌ ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ 由题意可知∥ ∴ ∴ ∴ 即：． 【例2】2010，怀柔，一模 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与轴交点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点PQ分别从C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜时,△PF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t时,△PF为等腰三角形?如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是． （1）求点坐标及的值； （2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式； （3）如图（2），点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B（1,0）代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。第三问则需要设出N，然后分别将NP，PF,NF三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。 【解析】 解：⑴由抛物线：得 顶点的为 ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ⑵连接，作轴于，作轴于 ∵点、关于点成中心对称 ∴过点，且 ∴ ∴, ∴顶点的坐标为 （标准答案如此，其实没这么麻烦，点M到B的横纵坐标之差都等于B到P的，直接可以得出（4,5）） 抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到 ∴抛物线的表达式为 ⑶∵抛物线由绕点轴上的点旋转得到 ∴顶点、关于点成中心对称 由⑵得点的纵坐标为 设点坐标为 作轴于，作轴于 作于 ∵旋转中心在轴上 ∴ ∴，点坐标为 坐标为，坐标为， 根据勾股定理得 ①当时，，解得，∴点坐标为 ②当时，，解得，