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制作人：杨寿渊 一、正项级数及其敛散性判别 正项级数： 部分和数列 单增： 正项级数 收敛 的充要条件是部分和数列有界. 定理1 二、正项级数敛散性的判别 第三节 正项级数 (比较判别法) 设 1).若 收敛,则 收敛; 2).若 发散,则 发散. 证. 定理2 1).若 收敛,则 收敛; 2).若 发散,则 发散. 推论 设 都是正项级数, 例如,级数 发散, 故原级数发散 而 级数, 当 时收敛; 当 时发散. 结论 比较判别法: 将要判定的级数与已知收敛或发散的级数作比较 当 时; 解:当 时， 发散， 而 例1. 判别下列级数的敛散性: 解 发散, 故原级数发散 收敛, 故原级数收敛. 例如, 发散; 收敛. 定理3 设 为正项级数, 若 则 敛散性相同. (比较判别法的极限形式) 例2. 判别级数的敛散性: 解 取 因 发散, 故原级数发散. 例3. 判别级数 的敛散性. 解 取 收敛, 故原级数收敛. 例4.判别级数 的敛散性. 解 而级数 收敛, 故原级数收敛. 取 特别地，取 则当 时， 于是 当 时,级数收敛; 当 发散; 当 时,敛散性不定. 解: 级数收敛. 级数发散. 例5.判别级数的敛散性: 级数收敛. 例6. 判别级数的敛散性: 解. 级数收敛. 收敛, 故原级数收敛. 收敛, 故原级数收敛. 而 定理5 设正项级数 例7. 判别级数的敛散性: 解. 级数收敛. 级数收敛. 当 时,级数收敛; 当 发散; 当 时,敛散性不定. (柯西根值判别法) 原级数收敛. 练习：判断下列级数的收敛性 解：由于 而级数 发散，故 原级数也发散。 解：由于 而级数 收敛，故 原级数也收敛。 解：由于 故原级数 收敛。 解：设 则 由d’Lambert比值判别法知该级数收敛。 解：设 则 由d’Lambert比值判别法知该级数收敛。 解： 由根判别法知原级数 收敛。 解：设 （共n 重根号），则
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