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第三章 平面线弹性问题的有限元 涂国祥 第三章 平面线弹性问题的有限元 ②单元刚度矩阵得物理意义 由虚功原理得节点力与节点位移的关系 根据矩阵乘法可得 由此可知：单元刚度矩阵的2×2阶子矩阵[Krs]表示使节点S（s＝i，j，m）产生单位位移时，在节点r（r＝ i，j，m ）上所需要施加的节点力得大小。 第三章 平面线弹性问题的有限元 如果将Krs展开 就是使节点s产生一个水平单位的位移，在r节点上所需要施加得垂直力 r s 第三章 平面线弹性问题的有限元 ③单元刚度矩阵的特性 a. 对称性 [K]e是对称矩阵，即Kij＝Kji，可以用功的互等原理来证明 Fr 由Fr引起的位移Usr Fs 由Fs引起的位移Urs 对弹性体有Fr·Urs＝ Fs·Usr 对于单元e，在节点i，j上 FjxUj＝FiyVi 假定Uj＝Vi＝1 则Fjx＝Kji Fiy＝Kij ∴Kij＝Kji i j Fiy Vi Uj Fjx b. 奇异性 不存在 是由于没有引入位移边界条件的结果。 c. 分块性 第三章 平面线弹性问题的有限元 §3.3 总刚矩阵的形成及其修正 1. 利用节点平衡组成总刚矩阵 外力＝节点力→未知的内力 节点荷载＝节点力 （单刚矩阵描述了节点力与节点位移的关系） 第三章 平面线弹性问题的有限元 第三章 平面线弹性问题的有限元 根据节点受力分析可得 R1x，R1y，R2y为约束反力，R2x＝R3x＝R4x＝0 第三章 平面线弹性问题的有限元 以上可以将它们按节点分单元写成矩阵形式，即 第三章 平面线弹性问题的有限元 写成分块矩阵的形式为： 那么对于节点力与节点位移的关系可表示为： * * 《有限元基础》 成都理工大学环境与土木工程学院 有限单元法的基本原理及步骤 L x dx q 如图所示受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量为E，试求直杆各横截面上的应力。 x o 材料力学解 从直杆任一截面取一微段dx，并令该微段截面上的内力为N(x)，则该微段的伸长量为 第三章 平面线弹性问题的有限元 1 2 3 4 R1 R2 R3 ① ③ ② x R4 i j e ui uj 有限元解 其中 成直线关系，它们反映了单元的位移形态，所以称为形函数。 单元的位移函数取 则 记 则 令 写成矩阵形式 位移列向量 则 第三章 平面线弹性问题的有限元 由几何方程得： 由于 所以 若记 矩阵[B]反映了单元应变与节点位移之间的关系，称之为应变矩阵 第三章 平面线弹性问题的有限元 由物理方程得： 若记 则 其中 矩阵[G]反映了单元应力与节点位移之间的关系，称之为应力矩阵 第三章 平面线弹性问题的有限元 如果知道节点位移就可以求出单元应力和应变，如何求节点位移？ 可以利用虚功方程来分析单元得节点受力与节点位移的关系 对于单元来说，节点力为外力 外力所作的虚功为 内力所作的虚功为 根据虚功原理，单元虚功方程为 由于 而假定单元虚应变与节点位移具有如下关系 第三章 平面线弹性问题的有限元 则 由于节点虚位移是任意的，所以 若记 则 单元平衡方程 其中矩阵[K]e反映了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵 其中 （r，s＝i，j；r＝s时取“＋”；r≠ s时取“－”） 第三章 平面线弹性问题的有限元 则 利用节点平衡方程，可以建立包括整个结构的以节点位移为未知量的线性代数方程组。 节点1 节点3 节点2 节点4 R R1① R2② R2① R3③ R4③ R3② F1① F2② F2① F3③ F3② F4③ 第三章 平面线弹性问题的有限元 ① ③ ② 单元 1 2 3 4 节点 写成矩阵形式 第三章 平面线弹性问题的有限元 对于具体单元，将矩阵升阶到4×4阶以后得 第三章 平面线弹性问题的有限元 （r，s＝1，2，3，4；r＝s时取“＋”；r≠ s时取“－”） 第三章 平面线弹性问题的有限元 已知u1＝0，修正总体平衡方程得： 解之得： 该结果与材料力学的精确解答相同 第三章 平面线弹性问题的有限元 第三章 平面线弹性问题的有限元 §3.1 有限单元法求解过程的一般步骤 1. 研究区域离散化 就是将所研究问题的区域划分成有限大小不等的单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替所研究问题的原区域；并以所离散单元节点处的位移作为基本未知量。 边坡有限单元模型 第三章 平面线弹性问题的有限元 §3.1 有限单元法求解过程的一般步骤 2. 选择位移模式 离散后，采用节点位移为基本未知量，因此需要用节点位移表示单元体的位移。必须对单元中位移分布作出一定的假设，一般假定位移是坐