6_1二次型及其矩阵表示矩阵合同1.ppt

一、二次型及其标准形定义 称为二次型. （我们仅讨论实二次型）。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 对二次型 二、二次型的矩阵表示 由一个二次型可对应一个对称矩阵A,且A唯一. 如二次型 用矩阵记号写出来就是 作一个 阶对称矩阵 显然由矩阵A可确定一个二次型： 　 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵； 二次型的标准形与一个对角阵一一对应. 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定 一个二次型。 所以二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。 解 解: 例3已知二次型 的秩为2，求参数 由 的秩为2知 解之得c＝3 解：二次型 的矩阵为 三、线性变换 实二次型的基本问题是研究如何把一个复杂的二次型通过适当的线性变换化为比较简单的标准形,使问题得到简化。 线性变换的定义 的一个线性变换。 线性变换也可记为 称为该线性变换的矩阵. 其中 解: 方法一 将线性关系直接代入. 求新二次型. 方法二 二次型的矩阵 证明: 即 为对称矩阵. 如果对二次型 进行满秩变换 : 说明