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第三章 空间问题有限单元法 思考题 1 写出轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）？ 2 如图所示，弹性模量E，泊松比0。请把该悬臂梁划分为两个三节点三角形单元，分别写出单元的[B]、[S]和单元刚度矩阵，形成整体刚度矩阵并施加边界条件。 3 写出轴对称问题的基本方程。 4 写出四面体单元的单元刚度矩阵和位移模式的表达式。 5 写出克希霍夫假设？ 6 轴对称问题、等参单元和等参变换？ 7 写出薄板弯曲问题的几何方程? 3-1 空间问题简介 3-2 轴对称问题 1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称。 3）约束条件关于轴线对称。 因过z轴的任一子午面都是对称面， 其上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只 与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴 对称问题可转化为二维问题，但因与平面 问题有区别，常称为二维半问题。 3-2 轴对称问题 2、基本方程 位移分量 应力分量 应变分量 虚功方程 3-2 轴对称问题 3、单元位移函数 利用节线位移，待定系数，可得 3-2 轴对称问题 4、应变矩阵 其中 为r的函数，故[B]的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r---》0时，f不存在，即奇异，需近似处理。 5、刚度矩阵 3-2 轴对称问题 6、轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别） 1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 3）单元边界是一回转面； 4）应变分量 中出现了 ，即应变不是常量；且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。 轴对称分析实例 成形分析的轴对称有限元模型 封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于： 1）如何保证锻件的厚度； 2）如何保证成形后的裙座位置。 厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。 制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料，制造带裙座封头要采用如图所示的坯料。 分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄，会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁厚的增加量会超过10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图中，制作了一个心部增厚，边缘减薄的坯料。 坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关，由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移，合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。 成形初期的等效应力分布 成形中间阶段的等效应力分布 成形结束阶段的等效应力分布 等效应变分布与成形缺陷 分析结果 通过有限元分析还发现，如果坯料上的凸台尺寸过大，会在封头的内壁上产生图中所示的凹陷，导致封头内表面尺寸超出设计要求。 采用ANSYS软件，对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了优化的坯料设计和制造工艺。 3-3 空间问题有限元法 1、基本方程 3-3 四面体单元 1）单元类型：四面体单元节点位移向量 2）位移函数 线性位移函数 3-3 四面体单元 利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式 其中 这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式 3-3 四面体单元 3）应变矩阵 其中 显然[B]为常量矩阵，故四面体单元为常应变单元 3-3 四面体单元 4）刚度矩阵 4-1 等参数单元 进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提供单元划分的密度，称为h方法；2）提高单元位移函数多项式的阶次，称为p方法。 从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。 任意四边形单元网格划分不受边界形状限制，单元大小可以不相等。但直接对其进行单元分析及其困难，因为它的几何形状不规则，没有统一的形状，对各个单元按不同公式计算，工作量过大难以进行。 为解决这一问题采用坐标变换的方法，把xy坐标系内任意四边形单元变换为另一坐标系中的正方形单元。 所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数