第三章1(热传导).ppt

2、Fourier变换的性质 二、拉普拉斯变换及其性质 2、Laplace变换的性质 例1 Laplace逆变换 Laplace变换 1、拉普拉斯变换的定义 性质1（导数性质） 性质2（积分性质） 性质4（延迟性质） 性质3（相似性质） 性质5（位移性质） 性质6（卷积性质） 数学物理方程 第三章 热传导方程 第三章 热传导方程 一、方程的导出及其定解条件 二、混合问题的分离变量法 三、柯西问题的积分变换法 §1、方程的导出及其定解条件 一、预备知识 1、Fourier热力学定律 在dt时间内从dS流入V的热量为： 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量沿着该体积表面的面积分） 二、热传导方程的推导 所要研究的物理量： 温度 根据热学中的傅立叶试验定律 在dt时间内从dS流入V的热量为： 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 由高斯公式 热场 流入的热量导致V内的温度发生变化 故流入的热量： ? 温度发生变化需要的热量为： 热传导方程 热场 当V内有热源时为非齐次方程 三、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值 S——给定区域v 的边界 (2) 绝热状态 (3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外界的温差成正比。 交换系数； 周围介质的温度 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 设： 是满足方程和齐次边界条件的非零特解代入方程得： §2、混合问题的分离变量法 一、 有限长杆上的热传导 1、 设有长度为L的均匀细杆，侧面绝热，杆两端温度为零，若杆的初始温度分布为 求杆任意时刻的温度分布。此问题可写成如下的混合问题： 带入方程： 令 令： 2、长度为L的均匀细杆，侧面和两端均为绝热，若杆的初始温度分布为 求杆任意时刻的温度分布。此问题可写成如下的混合问题： 令 带入方程： 3、长度为L的均匀细杆，侧面绝热，杆一端保持零度，另一端热量自由发散到温度为零的介质中，初始温度分布为 求杆的温度分布规律。此问题可写成如下的混合问题： 令 解： 二、 二维有界板上的热传导 细杆很长且侧表面绝热。给定初始温度 ，考虑杆内远离两端的一段在较短时间内的温度分布情况，此时边界温度可以忽略不计。定解问题成为： §3、柯西问题的积分变换法 此无限域的求解问题不能再用分离变量法，可用积分变换法求解。从而减少偏导数直到把偏微分方程化为常微分方程，把常微分方程化为代数方程求解。 而 1、定义 对函数 可以计算积分 称为函数 的Fourier变换 称为 的Fourier逆变换 一、Fourier变换及其性质 性质2（微分性质） 性质3（积分性质） 性质5（位移性质） 性质4（伸缩性质） 性质1（线性性质） 及 性质7（卷积性质） 性质6（乘多项式性质） 卷积定义： 例：求函数 的 Fourier 变换 解： 由于： 得F满足的常微分方程初值问题： 解得： 若 可得 即： 从而： 二、热传导方程柯西问题的求解 由变换的线性性质和卷积性质得： = -1 + -1 u(x,t) 其中 Piosson公式 称为热核或解核，也称一维热传导问题的基本解。 例1： 例2： 解： 解： 数学物理方程 第三章 热传导方程