第三章3.1微分中值定理.ppt

2) 若 不存在(≠∞)时, 例16. 求 解 若使用洛必达法则，有 极限不存在 洛必达法则不是万能的 但没有洛必达法则是万万不能的 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 因此不能使用洛必达法则求得原极限. 内容小结 洛必达法则 令 取对数 思考与练习 1. 设 是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 原式 ～ 分析: 分析: 3. 原式 ～ ～ 作业 P115：第1题：（1）（3） 第2题：（1）（3） 洛必达(1661 – 1704) 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 * * 运行时, 点击 “费马引理” 可显示费马简介. * * 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 * 运行时，点击相片, 或按钮“洛必达”, 或 “洛必达法则” ，可显示洛必达简介，并自动返回。 * 运行时, 点击按钮“例5”, 或“利用例5”, 可看例5的画面. * 运行时, 点击按钮“例5”, 或“利用例5”, 可看例5的画面. * 对第一题, 运行时点击按钮“说明”, 可显示有关的说明. * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章 微分中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔定理 拉格朗日中值定理 导数的应用 第三章 一、微分中值定理 第一节 二、洛必达法则 微分中值定理 洛必达法则 第三章 定理1(罗尔（ Rolle ）定理) 如果函数 f (x)满足: (1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 在( a , b ) 内至少存在一点 一、微分中值定理 罗尔定理的几何意义是： 如果连续曲线除端点外 处处都具有不垂直于x轴的切线， 标相同， 且两端点处的纵坐 那么其上至少有一点处的切线平行于x轴. 实际上, 切线与弦线 AB 平行. 例1. 验证函数 在闭区间[0，2]上满足 罗尔定理，并求出定理中的ξ. 解 是多项式函数, 在 [0 , 2 ]上 连续 , 又 所以f(x)在[0,2]上满足罗尔定理的三个条件. 由于 解得x=1, 即在开区间(0,2)内存在一点ξ=1(0ξ2),有 因为 故 在(0 , 2 )内可导, 令 即2x-2=0, 定理2(拉格朗日(Lagrange)中值定理) (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 如果函数 f (x)满足: (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 拉格朗日中值定理的几何意义是: 如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直 于x轴的切线， 由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称该定理为微分中值定理. 曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线. 那么该曲线上至少有一点， 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值定理 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 结论： 这是证明函数等式的基础 例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 例3. 证明对任意实数a,b,都有 证: 如果a =b,不等式显然成立. 即 所以 故 考虑a≠b情形,不妨设ab. 设 中值定理条件, 因此应有 则f (x)在[a,b]上满足拉格朗日 在拉格朗日中值定理中, 如果f (a) = f (a), 那么 这正是罗尔定理的结论. 所以罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形. 定理3（柯西定理） 若函数f(x)与g(x)满足下列条件： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导 （3）在开区间(a , b) 内 则在(a , b) 内至少存在一点 使得 （4） 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 思考与练习 1. 填空题