第三章7 曲率.ppt

* 曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角）的改变量 一、弧微分 规定： ? ? 单调增函数 如图， ? ? 弧微分公式 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 ) ) y x o （ 设曲线C是光滑的， （ 定义 曲线C在点M处的曲率 2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 例1 解 显然, 例2 证 如图 （ （ 在缓冲段上, 实际要求 三、曲率圆与曲率半径 定义 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 注意: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系 ①过同一点 ②有公切线 ③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同 设圆的方程为 *