第三章_刚体力学.ppt

§3.8 刚体的定点转动 一、定点转动运动学 1. 运动学特征：有一点始终固定不动。 2. 欧拉角：以O为定点，定系：O-ξηζ(e1, e2, e3) 动系: O-xyz(i,j,k) y,η z,ζ x,ξ 开始二者重合 绕Oζ转动φ，ON称为节线 z,ζ y,η x,ξ x’ N y’ φ 经过三步可以达到任何位置。φ，θ，ψ称为欧拉角， 分别称为进动，章动，自转角（天文学称法）； 0≤ Φ≤2π， 0≤ θ ≤π， 0≤ ψ ≤2π Φ，θ确定了自由转轴的方位， ψ确定了绕oz轴的自传角 绕ON节线转θ y,η z,ζ x,ξ y’’ z θ N x’ 绕Oz转ψ y,η z,ζ x,ξ y’’ z θ N x’ y x ψ ψ M y,z轴为主轴，则x轴按右手系亦为主轴。 例P188 1）直接积分法 2） x y a b θ 3）选主轴为坐标轴 x y a b θ §3.6刚体的平动与定轴转动 一、平动： 运动学特征：刚体上各点的速度，加速度均相同，通常以 质心的运动来代表刚体的整体运动。 2. 运动为微分方程 自由刚体：取质心为代表（力系向质心简化）. 由三个独 立变数可以描述 不需用.可见自由刚体的平动和质心运动无区别。 2）实际刚体作平动都受约束，则有刚体运动微分方程： 其次还需要考虑约束方程，才能解出约束反力及运动规律。 N2 N1 f C y z x 二、定轴转动 1. 运动学特征： 10 刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动，平行于z 轴的直线上的各点的运动情况相同，故可用垂直于轴的任 一截面代表刚体，仅有一变量θ . 2. 定轴转动微分方程 3. 转动动能 取Z分量： 方程（2）可代替方程（1）。 三、轴上的附加压力 1. 轴是一种约束，对刚体的作用 力为约束反力。 对固定点A的动量矩定理 下面简化该公式，设A-xy,z为静系，由欧拉公式，得: （3）代入（1），（2）投影得： 3. 讨论： 1)（4）中最后一式可解得运动规律，其余五式可解得 NAx, NAy, NAx, NBx, NBy； 化为通常的平衡方程;求得的约束反力为 静力反力， 与静力反力相差很大，即出现附加压力，起因与刚体转动时产生的惯性力； 不产生附加压力的充要条件 此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足 ： 故由（4）得， 即刚体重心在转轴上，且转轴为惯量主轴。 此时称刚体达到动平衡，该转轴为自由转轴，此时即使消去约束，刚体还会绕它继续转动。 例：P235 3.14 (1)由上述公式求解 x y O mg C Rx Ry a （2）直接由质心运动定理和对o点的动量距定理求解 x y O mg C Ry Rx a 注：书中得答案坐标的选取 §3.7 刚体的平面平行运动 一、平面平行运动的运动学 1. 运动特征 1) 其上任一点始终在平行于某一固定平面内运动，刚体上 垂直该固定平面的直线上各点运动情况相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表刚体。 2） 刚体在 内，由 ，可由两步完成 随A点的纯平动， ， 基点位移均为 A B A’ B’ θ Ⅱ Ⅱ’ Ⅰ 再绕A’作纯平动Ⅱ’→Ⅱ， 可见刚体的平面平行运动可分成=任意点的平动+绕该点的转动 2. P点的速度 取A为基点: y x z O rO A r r’ y’ x’ z’ θ ω P点在静系和动系中的坐标为（x,y）和（x’,y’）,v在静系中的投影： 3）选取不同基点B，基点位移不同， 即，改变基点，基点的位移不同， 因而速度，加速度不同； 但是角位 移，角速度相同。 A B A’ B’ θ Ⅱ Ⅱ’ Ⅰ 3. P点的加速度 二、转动瞬心 作平面平行运动的刚体任意时刻薄片上恒有一点速度为零， 该点为转动瞬心。 2. 求瞬心 1) 解析法：在静系中 在刚体系中： c P c c c 3. 当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，c在固定平面上的轨 迹叫做空间极迹，在薄片上的轨迹叫做本体极迹。一般情 况下，本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动。---潘索定理。 例：车轮滚动 c S B ω 4. 平面平行运动的运动学求解 1）求瞬心的位置，本体极迹和空间极迹： 作图法：求出c的位置，再写出其坐标表