第三章　投资组合理论.ppt

3.5　不具有无风险资产的有效组合边界 定义3.2 一个证券组合 称为边界证券组合，如果它在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差，即 是如下二次规划的解 写成矩阵形式为 其中： 假设所有资产期望回报率和方差均有限且期望互不相等，N种风险资产线性独立。构造Lagrangian乘子函数，求一阶导数，并令一阶导数等于零，得 这里 且 （*） 由V的正定性知B0，C0，D0，且二次规划的一阶条件既是必要条件也是充分条件，即一阶条件为 是以 为期望回报率的边界证券组合的充要条件。从而，任何边界证券组合均可表示成（*）式；反过来，由（*）式表示的任何证券组合均为边界证券组合。 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的边界证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。 由全体“边界证券组合”构成的“集合”称为证券组合边界（portfolio frontier）。它是今后定义有效边界的基础 证券组合边界的几个重要性质： 性质3.1 是期望回报为0的边界证券组合， 是期望回报为1的边界证券组合。 性质3.2 整个证券组合边界可以由边界组合 和 生成 性质3.3（两基金分离定理） 整个证券组合边界可以由任意两个不同的边界证券组合的线性组合生成。 性质3.4 边界证券组合的任何凸组合均在证券组合边界上。 对于任意两个边界证券组合，其回报率的协方差为： 从而，对于任意边界证券组合，其回报率和标准差满足如下方程： 因此证券组合边界是以 为中心，以 为渐进线的双曲线 证券组合边界的几何结构 双曲线图形 A/C E (r ) 0 mvp 机会集 双曲线 最小方差证券组合mvp对应的点为 性质3.5 最小方差证券组合回报率与任意证券组合（不一定是边界证券组合）回报率的协方差总等于最小方差证券组合回报率的方差。即 有效证券组合（或有效组合边界） efficient portfolios 双曲线从mvp开始： 向右上方的一支，是有效的 向右下方的一支，是无效的 “有效组合边界”＝“边界组合”＋“期望A/C” 性质3.6 有效证券组合的任意凸组合仍为有效证券组合。 3.6　零－协方差证券组合 　 性质3.7 对于边界上的任意证券组合p， ,均存在唯一的边界证券组合，以zc(p)表示，使得 。该证券组合称为p的零－协方差证券组合 边界证券组合zc（p）和p的地位是“对称的” zc（zc（p）)＝p 从证明中可以看出，二者不可能同时是有效组合 zc(p)的几何含义 zc(p ) mvp p E (r ) A/C 0 任意非边界证券组合q和边界证券组合p的关系 设任意证券组合q和任一个边界证券组合p（mvp除外），二者收益率之间的协方差为 定理3.2：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个边界证券组合p（除mvp外）与其对应的边界证券组合zc（p）的收益率均值的线性组合 因为zc(p)和p的地位是对称的即zc（zc（p）＝p，所以将zc(p)和p互换，得到公式的另一种形式为 3.7 具有无风险资产的有效证券组合边界 如果投资对象中含有无风险证券，有效边界组合（有效边界）的“模样”有特殊性 有效组合边界以及其有关几何结构性质有所加强，其结论更细化 曲线变成直线 设 w是风险资产的权重（N维向量）， 无风险收益率rf 设 是如下规划的解： 无风险证券情况下证券组合边界是直线型 截距，斜率都可以计算；斜率一正一负两条直线 无风险证券情况下组合边界的几何结构 无风险收益率的大小将会影响证券边界，具体是直线的“ 模样”，分三种情况 rf ＜A/C、 rf ＞A/C、 rf ＝A/C 其中A/C表示不存在无风险资产情况下mvp的期望值 存在无风险资产之后，证券组合边界由双曲线向左进行了扩张。可行域是由两条射线所“围成”的区域 1、rf＜A/C 0 E (r ) A/C e mvp zc(e) rf＜A/C的几何图形 正斜率直线与双曲线相切，切点是e点 直线e左侧上的点是e和rf的凸组合 直线e右侧上的点是卖空 rf ，买入e 负斜率直线不与双曲线相交 卖空e，买入rf 2、rf＞A/C