第三章初等变换与线性方程组.ppt

由于原方程组等价于方程组 由此得通解： 例５ 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 三、小结 思考题 解 思考题解答 故原方程组的通解为 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第五节 综合与提高 一 本章知识回顾 二、 典型问题 三、测试题 换法变换 倍法变换 消法变换 １　初等变换的定义 逆变换 初等变换 　　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． 反身性 传递性 对称性 ２　矩阵的等价 矩阵A与B等价的必要条件是A与B是同型矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵． 　　由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． ３　初等矩阵 　　（１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵　　　． 　　（２）倍法变换：以数　（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵　　　． 　　（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵　　　　． 定理 定理 推论 4　初等矩阵与初等变换的关系 　　经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 5　行阶梯形矩阵 　　经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如 6　行最简形矩阵 　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 7　矩阵的标准形 　　所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的 矩阵． 定义 定义 8　矩阵的秩 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 9　矩阵秩的性质及定理 定理 定理 10　线性方程组有解判别定理 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 则这个子式便是 的一个最高阶非零子式. 例5 解 分析： 例 已知 解1： 由于A的秩是2，因此 故 解2： 由于A的秩是2，因此 故 解3：由于A的秩是2，因此 故 (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 三、小结 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第三节 线性方程的解 第三节 线性方程的解 一、线性方程组有解的判定条件 三、小结 二、线性方程组的解法 问题： 证 必要性. ( ) , , n D n A n A R 阶非零子式 中应有一个 则在 设 = ( ) , 根据克拉默定理 个方程只有零解 所对应的 n D n 从而 一、线性方程组有解的判定条件 这与原方程组有非零解相矛盾， ( ) . n A R 即 充分性. ( ) , n r A R = 设 . 个自由未知量 从而知其有 r n - 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 . 证 必要性． , 有解 设方程组 b Ax = ( ) ( ) , B R A R 设 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾 . ( ) ( ) . B R A R = 因此 并令 个自由未知量全取0， r n - 即可得方程组的一个解． 充分性. ( ) ( ) , B R A R = 设 ( ) ( ) ( ) , n r r B R A R ￡ = = 设 证毕 其余 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 小结 有唯一解 b Ax = ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 例1 求解齐次线性方程组 解 二、线性方程组的解法 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换， 故方程组无解． 例３