第三章剪切和扭转.ppt

长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 ? 可按下式计算 对于同一材料制成的等直圆轴（G ，Ip 为常量），当只在两端 受一对外力偶作用时（ T 为常量 ） ，从上式可得 GIP 称作 抗扭刚度 Me Me ? ? 刚性平面假设：变形前垂直于轴的圆形横截面 ，在变形后仍保持 为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。 a a b T T dx b 1，几何方面 倾角 ? 是横截面圆周上任一点 A 处的切应变 D A D1 a a b T T dx b D1 D A d? 是 b-b 截面相对于 a-a 截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个 角度。 a a b T T dx b D1 D A E ? 经过 O1A 上半径 为 ? 的任一点 E 作纵向线 EG。 G a a b T T dx b D1 D A E ? G EG 也倾斜了一个角度 ? ? ? ? 是横截面半径上任一点 E 处的切应变。 G1 ? ? a a b T T dx b D1 D A E ? G G1 ? ? 此时式说明 ：同一半径 ? 圆周上各点剪应变 ? ? 均相同 ，且其值 与 ? 成正比。 2，物理方面 由剪切胡克定律 同一圆周上各点应力 ? ? 均相同 ，且其值与 ? 成正比 ，? ? 垂直于半径。 3，静力学方面 o T dA 每个微元力对圆心的矩为 所有微元力对圆心的矩之和等于横截面上的扭矩 T。 o T dA o T dA 上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式 称为横截面对圆心的 极惯性矩 式中：T 为横截面上的扭矩； ? 为求应力的点到圆心的距离 o T (1) 横截面周边各点处切应力将达到最大值，圆心处的切应力为零 说明： 切应力与 ? 成正比。且垂直于半径。指向与 T 的转向一致。 WP 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3。 抗扭截面模量公式 二，极惯性矩及抗扭截面模量 极惯性矩公式 d o 实心圆截面 D d o 空心圆截面 ? 三, 强度条件 对于等直杆 [? ] 为扭转许用切应力, 其值可查有关资料 例3-5：图示受扭杆的直径 d = 60 mm 。试求 1—1 截面上 K 点的 切应力。 3kN.m 5kN.m 2kN.m 20mm 1 1 解： 例3-6：已知杆的直径 d = 80mm ，材料的许用应力[? ] = 40MPa ， 试校核该杆的强度 6kN.m 2kN.m 2kN.m 2kN.m 解：画轴力图 2kN.m 4kN.m 2kN.m + - 例3-7：已知材料的许用切应力 [?] = 40MPa 。试选择圆杆的直径。 5kN.m 2kN.m 3kN.m 最大扭矩为 解：画扭矩图 + 5kN.m 3kN.m 例题：图示空心圆轴外径 D =100mm, 内径 d = 80mm , M1 = 6kN.m , M2 = 4kN.m, 材料的剪切弹性模量 G = 80GPa。 (1) 画轴的扭矩图 (2) 求轴的最大切应力。 M1 M2 A B C l l (1) 画轴的扭矩图 4kN.m 2kN.m (+) (-) 最大扭矩发生在 BC 段, Tmax=4kN.m M1 = 6kN.m M2 = 4kN.m M1 M2 A B C l l (2) 求轴的最大切应力。 M1 M2 A B C l l 练习题 ：实心圆轴１和空心圆轴 2, 材料, 扭转力偶矩 M 和长度 l 均相等, 最大切应力也相等. 若空心圆轴的内外径之比为 ? = d/D = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比 . l l 解：设实心圆截面直径为 d1, 空心圆截面的内、外径分别为 d2 , D2 已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T 。 l l d1 d2 D2 已知： 所以 l d1 l d2 D2 l d1 l d2 D2 解得 l d1 l d2 D2 两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积 之比 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。 T ? 实心圆截面 空心圆截面 两端面的相对扭转角 复习 圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 ? 来度量的 三，扭转角 其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。 CD 段: 假设该截面上的扭矩为正 A C T2 DB 段: 各截面的扭矩为零 1 2 3 D A B C 1 2 3 400kN.m 600kN.m (+) (-) D A B C 从动轮 主动轮 从动轮 n M2 M1 M3 三，功率，转速与外力矩之间的关系 一传动轴，转速为 n 转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，然后 由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 P 千瓦（kW)，则作 用在该轮