第八章 灰色线性规划.doc

灰色线性规划 线性规划是目前研究多变量系统应用很广的一种决策方法，在社会经济学科中应用尤为普遍。但是，由于社会经济系统以及自然生态环境系统中存在着很多不确定的、模糊的因素，其现象往往是灰色的，因此利用线性规划进行分析和处理问题时可能会出现错误。而灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划，正好弥补了常规线性规划的不足，在渔业科学中也得到了初步的应用。在本章中我们将主要介绍灰色线性规划模型以及灰色线性规划在渔业科学中的应用。 第一节 灰色线性规划模型 一、线性规划模型标准形式 线性规划是运筹学的一个重要分支，是目前研究多变量系统应用很广且简便易行的一种数学模型，也是确定型决策最常用的方法。它主要解决的问题是如何最大限度地发挥有限资源（包括人力资源）的作用，取得的最大经济、社会效益，为合理利用人力、物力和财力找出有效途径。线性规划研究的问题主要有两类：一是一个目标或任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成这一目标；二是在一定的条件下，即有一定数量的人力、物力和财力，如何通过合理的安排和使用，使得完成的任务最多，最大的效益最大化。这实际上是一个问题的两个方面，也就是解决系统整体的最优问题。因此，线性规划常被用作调整各行业产业结构的主要数学方法。 线性规划是求解线性关系问题。所谓线性关系就是比例关系，如生产量和资源投入量之间、成本与利润之间等的关系，一般均呈线性或接近线性关系。构成线性规划问题通常需要具备以下条件： （1）确定问题的决策变量。这是指决策人可以控制的因素，它们的值决定模型的解。 （2）要有明确的目标。要求问题的目标能用数值来表示，即把有关问题转化为公式，并确定决策人用来评价问题不同答案的准则，即目标函数。 （3）要达到的目的是在一定的约束条件下实现的，同时存在着达到目标的多种可行方案。 （4）弄清有限资源的限制数量，各生产部门的投入－产出关系和产出－收益之间关系，以确定合理的决策变量系数。 （5）约束条件和目标函数都必须是线性关系。约束条件反映系统环境的限制，目标函数反映决策者的目的。 因此一般线性规划模型包括五个部分：（1）决策变量Xj（j=1，2，……，n）；（2）约束条件或资源限制bi（i=1，2，……，n）；（3）技术系数aij；（4）效益系数cj；（5）目标函数Z。 线性规划数学模型为： 目标函数 max或min Z=c1x1+c2x2+……+cnxn 满足于约束条件： … x1，x2，…xn≥0 其缩写形式为： 目标函数 max或min Z= 满足约束条件 （i=1，2，…，m） xj≥0 （j=1，2，…，n） 式中：xj—代表一组未知的决策变量，表示各种产品的产出量； aij—技术系数，表示生产j种产品所需i种生产因素的投入数量； cj—效益系数，表示生产单位j种产品的收益； bi—代表生产要素的限制量。 具有上述结构的线性规划问题，我们称为标准形式。具体的线性规划模型可能会有很多限制和约束，但是任何线性规划问题都可以变换成上述标准形式。 二、灰色线性规划 尽管线性规划在社会经济发展中得到了广泛的应用，但是一般线性规划存在下述问题： （1）线性规划是静态的，不能反映约束条件随时间变化的情况，因而所得结果往往因条件改变而失败。 （2）如果规划模型中，出现灰参数（或灰数），如约束方程中的技术系数、约束值等，则一般线性规划难以处理。 （3）由于模型技术或计算技巧问题，在实际计算过程中常出现无解或无法求解。 由于上述问题的存在，使得一般线性规划的应用受到一定程度的限制。但是这些问题可以利用灰色系统的思想和建模方法来解决，结合灰色系统理论的线性规划称为灰色线性规划。 灰色线性规划的形式如下： 目标函数： 约束条件： X≥0 也就是说：在满足 X≥0的条件下，寻求一组X，使f（X）达极大值（或极小值）。 上述关系式中X为向量： C为目标函数的系数向量 Ci可以是灰数。为约束条件的系数矩阵，A为的白化矩阵，且有： ? = ? ? ? A= ? ? ? b是约束量 若对于约束指标bi，有一组白化序列 则对作累加生成后得，再以数据，按GM（1，1）建立预测模型，再从预测模型求出预测值。 在作规划计算时，按下述约束条件 X = 则可求出K时刻的灰色线性规划值。当Kn的条件下取不同值时，