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第八章 经典力学的哈密顿理论 教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。 教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。 教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。 §8.1 正则共轭坐标 坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。 一：坐标的发展历史. 1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用来表示三个坐标轴方向的单位矢量。 2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的等物理量。从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。 下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。 二：正则共轭坐标 1.拉格朗日函数L的不确定性 如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量为拉格朗日函数，即满足拉格朗日方程。那么可证明也必然满足拉格朗日方程。 证明：为了简单起见我们假设广义坐标只有一个，即s=1， 因，， 。将L2代入拉格朗日方程左边可得 ， 即L2与同样L1满足拉格朗日方程。 因此可以看出虽然L2≠L1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。所以说，在经典力学中一个力学体系的L并不是唯一的，它们之间可以相差一项。以前我们定义L=T-V只是这种情况较简单而已，也就是说L具有不确定性， 2.广义动量的不确定性 如果我们定义L=T-V，那么由得到的与将有一一对应的关系。但如果我们定义满足拉格朗日方程的L均为拉格朗日函数，那么由得到的与将无对应关系。原因就是附加项中同样含有项，所以可以说由此得到的与是相互独立的。比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。 3.正则共轭坐标 在保持广义坐标的定义和广义动量的定义不变的基础上，对也不做任何限制，可以使与保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。 用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。 三：本节重点：正则共轭坐标（，）的物理意义。 §8.2 哈密顿函数和正则方程 哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。 一：哈密顿函数H. 1. H的定义：用2S个变量表示的广义能量被称为哈密顿函数。下面我们来证明这种表示法是可行的。 证明：由可得， 另由拉格朗日方程得。所以的上述表达式可改写为： 另外 由—可得 （2.1） 因广义能量，所以上式实际上可写成。 在上述的表达式可见其中有共3s变量，但独立的变量只有2s个。由（2.1）式可以看出可以选用2S个做为独立变量将H写成。原式中的可以由中解出，代回中即可得到，其中表示这些量是（）的函数。 2. 哈密顿函数H的常用求法. （1）由定义直接求出。在确定体系的广义坐标后，先求出，接着由中解出，代入中消去可得。将、代入H的定义式最终可得。 （2）由能量守恒求出。当体系所受的约束为稳定约束时，广义能量H就为体系的能量E（见§2.7对称性和守恒定律），因此可利用直接求出哈密顿函数H。但注意式中的应为正则共轭坐标（，）的函数，即。的表示方法与方法（1）类似，即先求出，再求出，解出后代入、中消去就可得、。 二：哈密顿正则方程 1.正则方程 由求H的微分可得 （2.4） 比较（2.1）、（2.4）两式可见 （2.5） （2.5）式即为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程或正则方程。 2.正则方程和拉格朗日方程的比较。正则方程和拉格朗日方程一