第八章数值微分和数值积分.ppt

* 第四章 向量组的线性相关性 §1n维向量 一,向量定义 定义1 第八章 数值微分和数值积分 §1 引言 本章所要解决的问题是:给出数据表 要求 或 由于现在给出的只有n+1个离散点上的函数值,所以我们就用 这些节点上的函数值的组合来近似导数值或积分值. 这就称为数值微分和数值积分. 分别称为求导系数 和求积系数. * 数值微分和数值积分的基本思想是: 根据给出的数据表,先求出f (x)的一个”近似”函数,然后对这个 “近似”函数求导或求积. 如果这里的”近似”是插值意义下的近似,由此得到的公式称为 插值型的数值微分或数值积分公式.本章讨论的都是插值型的 公式.且都是取等距节点. 我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数. 从而得到能够对任意函数都通用的公式. * 向量组及其线性相关性 1,向量组 其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. §2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插值多项式求导,得到: 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式. * 2,线性方程组的向量表示 二 三点公式 给出三个等距节点及其函数值,做一个二次插值多项式, 对这个插值多项式求导,得到: 由于采用的是等距节点,所以得: * 3,线性组合与线性表示 定义2 Th1 由此可得数值微分的三点公式: 由于基本插值多项式与被插函数f(x)无关,所以所得到的求导 系数与函数f(x)无关. * 4,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示 定义3 现在讨论等距节点下的插值型数值积分公式 §3 Newton-Cotes数值积分公式 所以求积系数 其中 是与被积函数,积分区间都无关而仅与n和k有关的常数, 称为Cotes系数. 由此可得Newton-Cotes公式: * 例 一 矩形公式 (n=0) 左矩形公式 右矩形公式 其几何意义就是用矩形面积近似代替曲边梯形的面积. 中矩形公式 二 梯形公式 (n=1) 这时两个Cotes系数都是1/2,这就得到: 类似可得更高阶的N-C公式 * 定义3的矩阵表示 三 N-C公式的截断误差 再由积分中值定理可得 * 定义3的矩阵表示 特别当n=1时(即梯形公式)的误差为: 当n=2时(即Simpson公式)的误差为: * Cotes系数的性质:1. 2.当n8时 在使用N-C公式时要注意: 1.由误差公式可知,n应尽可能取偶数; 2.由于多项式插值是不收敛的,所以n不宜取得很大; 3.为了保证算法的稳定,应取n8. * 例 §4 复合求积公式 基本思想: 由于积分值与被积函数在个别点上的性质无关,为了 提高精度,对被积函数作低次分段插值,然后再积分. 一 复合梯形公式 * 例 复合梯形公式的误差: 二 复合Simpson公式 * 6,线性方程组的等价性 例:用复合梯形和复合Simpson公式计算积分 要求其误差不超过 复合Simpson公式的误差 例:用复合梯形和复合Simpson公式计算积分 要求其误差不超过 * 复合梯形公式误差的事后估计法 因为 由此可得复合梯形公式误差的事后估计法 同理可得复合Simpson公式误差的事后估计法 * 7,向量组的线性相关性 定义4 三 变步长的梯形法 * 例 由此得到了关于复合梯形公式的一个递推关系: 这个递推公式称为变步长的梯形法 这个公式既可以减少很多计算量,又可以方便地进行误差的 事后估计. 例:求积分 ,要求 * 命题 §5 Romberg求积公式 基本思想:由于对复合求积公式可以得到误差的事后估计式, 把这个误差估计式作为修正项对复合求积公式进行 修正,以得到更为精确的结果. * 线性方程组的相关性 Th2 依次类推,可以得到Romberg求积公式 . 这是一个复合求积公式的加速方法,其优点是收敛速度快, 误差估计简单.其缺点是要求等距节点. 例:求积分 要求6位有效数字. * 例 对于更为一般情况下的积分(如非等距的节点,积分区间的长度 超出了已知数据的范围等),可以根据数值积分的基本原理进行 计算. 对于广义积分也有数值计算的方法,即高斯积分公式.