第八章无穷级数及自测题.doc

第八章 无穷级数 一、基本要求 1.理解常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件； 2.掌握几何级数,P—级数的敛散性； 3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法； 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法； 5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系； 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法； 8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数；掌握,,,及的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数； 10.了解幂级数在近似计算中的简单应用； 11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理； 12.会将定义在,及,上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。 二、主要内容 1. 数项级数的定义 （1）设有数列,则称作以为首项,以为近项的无穷级数。 （2）称作无穷级数的前n 项的部分和。 （3）若,则称级数收敛于,称为级数的和,即；若不存在,则称级数发散,即的和不存在。 （4）一般项数列与部分和数列关系： 2. 数项级数的性质 （1）级数收敛的必要条件是：,当或不存在时,必发散。 （2）设是非零常数,则级数与的敛散性相同。 （3）中增加、改变或去掉有限项后,敛散性不变。 （4）设,则 （5）收敛级数任意加括号后所得级数都收敛,且其和不变；发散级数去括号后仍发散。 3. 正项级数收敛判别法 （1）比较判别法： 设当时,有,若收敛,则收敛；若发散,则发散。 比较判别法的极限形式 若,且收敛,则收敛； 若或,且,则发散。 敛散性已知的常用级数 当时收敛,时发散； 当时收敛,时发散； 当时收敛,时发散。 （2）比值判别法： 若 则当时,收敛；当时,发散,此时； 则当时,此判别法不能判定。 （3）根值判别法： 若 则当时,收敛；当时,发散,此时； 则当时,此判别法不能判定。 （4）积分判别法： 设函数在单调下降且非负,则级数与反常积分同敛散。 （5）正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列有界。 4. 交错级数莱布尼兹判别法 若且, 则收敛,且其和小于首项。 5. 绝对收敛与条件收敛 若级数收敛,则级数也收敛,并称此级数为绝对收敛； 若级数收敛,而级数发散,则称此级数条件收敛。 6. 函数项级数的概念 （1）设,为定义在内的函数序列, 则 称为定义在内的函数项级数。 （2）设若级数收敛,则称为函数项级数的收敛点,收敛点的全体称为其收敛域；若级数发散,则称为函数项级数的发散点,发散点的全体称为其发散域。 （3）设为函数项级数的前项和序列,若存在,则称为的和函数。 7. 幂级数的概念 （1）称为的幂级数（或处的幂级数）, 称为的幂级数（或在处的幂级数）。 （2）阿贝尔定理 若级数在处收敛,则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。 若级数在处发散,则适合不等式的一切使这幂级数发散。 （3）幂级数, 则 , 称为的收敛半径, 在绝对收敛；在 发散。 幂级数（其中为给定自然数）,则为的收敛半径, 在绝对收敛；在发散。其中时, 收敛域仅为一点； 时,收敛域为；时, 收敛域为一有限区间。 8. 幂级数在收敛区间（- R, R ）的性质 （1）设, 则和函数在内连续； （2）在内可逐项积分,逐项求导, 且得到的新的级数收敛半径不变。 （端点处敛散性可能改变）。 （3）设, ,处处连续,则。 （4）设,；；则在上有； ； 。 9. 函数的幂级数展开 （1）函数的泰勒展开式 设在具有任意阶导数, 且 则 （2）函数的麦克劳林展开式 设在具有任意阶导数, 且 则 （3）常用函数的麦克劳林展开式 10. 傅立叶级数的概念 （1）函数在上的傅立叶级数 设的周期函数在上满足狄利克莱条件： 除有限个第一类间断点外处处连续； 仅有有限个极值