第八章第九节圆锥曲线的综合问题（理科）.doc

一、选择题 1．已知椭圆＋＝1(ab0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为(　　) A．10　　　　　　　　　　　B．12 C．16 D．20 解析：如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为4a，又e＝＝，即c＝a，a2－c2＝a2＝b2＝16， a＝5.ABF2的周长为20. 答案：D 2．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 解析：易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大． 此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)， ＝(－，－1)，＝(，－1)． ·＝－2. 答案：D 3．过椭圆C：＋＝1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．(，) B．(，1) C．(，) D．(0，) 解析：由题意：B(c，)，k＝＝＝1－e， 1－e， e. 答案：C 4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为(　　) A. B. C. D. 解析：依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，＝. 答案：B 5．(2012·潍坊模拟)椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　) A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 解析：依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0. 答案：B 二、填空题 6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(ab0)，令x＝c，则|y|＝，由题意得|PF2|＝，又|F1F2|＝|PF2|，2c＝，b2＝a2－c2，c2＋2ac－a2＝0，e2＋2e－1＝0，解之得e＝－1±，又0e1，e＝－1. 答案：－1 7．已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________． 解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)． 将直线方程和抛物线方程联立，得：x2－ax＝0，解得x1＝0，x2＝a，故AB中点的横坐标为x0＝(x1＋x2)＝a，由题意得a＝2，解得a＝4.所以该抛物线的方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 三、解答题 8．已知椭圆＋＝1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点． (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：＝， 2a＋2c＝4(＋1)， 所以a＝2，c＝2， 又a2＝b2＋c2，因此b＝2. 故椭圆的标准方程为＋＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m0)， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以m＝2， 因此双曲线的标准方程为－＝1. (2)证明：P(x0，y0)， 则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1k2＝·＝＝1， 即k1k2＝1. 9．(2012·大连模拟)已知椭圆C过点M(1，)，两个焦点为A(－1,0)，B(1,0)，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l过点A(－1,0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求BPQ的内切圆面积的最大值． 解：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1. 因为A在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，b2＝－(舍去)． 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设直线l方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 (4＋3k2)y2－6ky－9＝0 所以SBPQ＝·|F1F2||y1－y2|＝. 令＝t，则t≥1，所以SBPQ＝， 而3t＋在[1，＋∞)上单调递增， 所以SBPQ＝≤3，当t＝1时取等号， 即当k＝0时，BPQ的面积最大值为3. 1