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第八讲 参数估计和假设检验
1.点估计(矩估计和极大似然估计,无偏性和有效性)
例1.设总体的概率密度为 ,是取自总体的简单随机样本,(1)求的矩估计量 ;(2)求的方差。
解:(1) ,为样本的一阶矩,
令,得=2。
(2),
,
= 。
注:对任何分布的总体的样本均值,都有, 。
例2.设样本()是取自正态总体的容量为的样本,试确定常数,使得是的无偏估计。
解:由于为样本,故,,于是, ,,因此 ,要使是的无偏估计,只须,故。
例3.设是参数的无偏估计,且有,试证不是的无偏估计。
证明:(反证法)若是的无偏估计,且也是的无偏估计,则有 与矛盾,所以一定不是的无偏估计。
同理:若是的无偏估计,则一定不是的无偏估计。
例4.设总体服从上的均匀分布,()是来自的样本,设 , ,试证:(1),均是的无偏估计,(2)问,中哪个更有效?
证:(1)由于的密度为 ,
故的分布函数为 ,
对应的密度函数为,
从而。
所以,是的无偏估计,
类似地,的密度为 ,
故
,
(,,,)
所以,是的无偏估计。
(2)为计算,先算。
故,另外
,故 ,从而比更有效。
例5.设总体的概率密度为
其中, 是未知参数,是来自的一组样本,
(1)求的矩法估计,并考察是否为的无偏估计。
(2)求的极大似然估计,并考察是否为的无偏估计。若不是,如何修正成的无偏估计?
解:(1),因此
,所以此矩估计是的无偏估计。
(2)似然函数,
,,,
越小,越大,故
的分布函数为
的分布函数为
的密度函数为
,故不是的无偏估计。取,因,故是的无偏估计。
例6.设总体的概率分布为
0 1 2 3
其中是未知参数,利用总体的如下8个样本:3,1,3,0,3,1,2,3, 求的矩估计和最大似然估计值。
解:
,令 ,即,
解得得矩估计值 。
似然函数:,
,
。
令 ,解得 。因,不合题意,所以的最大似然估计值为 。
2.区间估计
例7.在天平上重复称量一重为的物品,假设各次称量结果相互独立且服从正态分布,若以表示次称量结果的算术平均值,则为使,则的最小值应不小于自然数 16 。
分析:由于,由区间估计方法中有关均值的思想: ,
查正态分布的的分位数,即 ,
又从题目要求 ,可令 ,得=15.68 ,取大于的最小整数是16。
例8.设总体,已知,问样本容量为多大时,方能保证的置信度为0.95下的置信区间长度不超过 ?
解:由于,已知,故用作统计量即可找到分位数,
使 ,即 ,
从而置信区间长为,再由题目要求 ,从中解出 ,故,其中表示为小于的最大整数。
例9.假设0.50,1.25,0.80,2.00是取自总体的简单样本值,已知=服从正态分布,
(1)求数学期望(记为)。
(2)求的置信度为0.95的双侧置信区间。
(3)利用上述结果求的置信度为0.95的双侧区间。
解:(1)的概率密度函数为 , ,于是(令)
。
(2)当置信度时,标准正态分布的()分位数为1.96,又,
故有,
,故的置信区间为。
(3)由上题结果及的严格递增性,可知:
,
故的置信度为0.95置信区间为 。
3.假设检验
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