2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件第2章22第2课时反证法.ppt

1.综合法的推证过程：______________________. 2．分析法的推证过程______________________. 2．思维过程 否定结论?推理过程中引出矛盾?否定假设肯定结论[即否定—推理—否定，经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题)]． 3．常见的主要矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛盾有： (1)与题设矛盾． (2)与假设矛盾(自相矛盾)． (3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾． (4)与公认的简单事实矛盾． (4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论． 4．用反证法证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假定； (3)由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为(　　) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．自然数a、b、c都是偶数 D．自然数a、b、c中至少有两个偶数 [答案]　B [解析]　a、b、c三个数的奇偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④全是偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”． 三　反证法适用的范围 正难则反是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难用直接法证明，可考虑用反证法，一般下列几种题型适合用反证证明： (1)否定性命题； (2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的； (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少的； (5)涉及“无限”结论的命题； (6)一些基本命题、基本定义的证明等． 求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [解题提示]　当证明的结论中含有“至少”、“至多”等词时常用反证法证明． [证明]　假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A60°，∠B60°，∠C60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. 求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． [解题提示]　当证明的结论中含有“有且只有”“唯一”等词时常用反证法证明． [证明]　已知：点P在直线a外． 求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条． 证明：∵点P在直线a外，∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行． 假设过点P还有一条直线c与a平行． ∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立． [方法总结]　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性较简单明了． 用反证法证明“如果四边形ABCD的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆”． [解题提示]　本题主要考查用反证法证明几何问题，注意分情况讨论． [解析]　假设四边形ABCD不是圆内接四边形， 设经过点A，B，D的圆为⊙O， 则点C在⊙O内或⊙O外． 在⊙O上取点C′，连接BC′，DC′. 若点C在⊙O内，则∠C∠BC′D，∠A＋∠C180°， 与∠A＋∠C＝180°矛盾，所以假设不成立； 若点C在⊙O外，则∠C∠BC′D，∠A＋∠C180°， 与已知∠A＋∠C＝180°矛盾．所以假设不成立． 综上所述，四边形ABCD是圆内接四边形． [方法总结]　当假设中包括多种情况时，要注意用分类讨论的方法，对每种情况进行否定，从而得出正确结论． 求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0. [证明]　假设bc＝0，则有三种情况出现： (1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾． (2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0与x2＋c2＝0矛盾． (3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾． 综上所述，bc≠0. 用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根． [误解]　证明：假设函数f(x)在区间[a，b]上有两个实根α，β.因为α≠β，