第六章 常微分方程解法.ppt

§6.6 龙格－库塔方法 §6.6 龙格－库塔方法 于是 其中P可以任意选取。这个式子叫P阶泰勒方法。 §6.6 龙格－库塔方法 这样，便得到了一种P阶显式单步法 P=1时， ，泰勒方法变为欧拉方法。 §6.6 龙格－库塔方法 使用泰勒方法时，需要计算f(2)(x,y), f(3)(x,y),…，对于复杂的f，计算较繁，所以高阶泰勒方法并不实用。 在欧拉法中， ，即 取为xn处的折线斜率。 Remarks: §6.6 龙格－库塔方法 在改进欧拉方法中， 为平均值，其中k1=f’(xn,yn), k2=f’(xn+h,y1+hk1),于是可以想象，如果取为更多个斜率k的加权平均值，有可能使阶数提高。 其中 §6.6 龙格－库塔方法 Runge-Kutta方法一般用R个斜率，称为R级。定义为： 也可以用另外一种方法构造R-K法。由微分中值定理知： §6.6 龙格－库塔方法 其中 h=xn+1-xn §6.6 龙格－库塔方法 可以看作y(x)在区间[xn,xn+1]上的平均斜率 ，所以只要对平均斜率 给出一种近似算法，即可得到一种计算y(xn+1)的近似值计算公式。 例如，取左端点斜率作为平均斜率，即 可以得到： §6.6 龙格－库塔方法 这即是一阶精度的欧拉公式。 又如：用左端点处斜率和右端点处的斜率的算术平均值作为平均斜率，可得： 这就是改进欧拉公式 §6.6 龙格－库塔方法 可以想象，如果能够在[xn,xn+1]上多估计几个点(包括端点)处的斜率值k1, k2, …, km，然后用它们的加权平均值作为平均斜率 ，那么可以构造出这样的公式： §6.6 龙格－库塔方法 其中 ， 是 预估值。 这种公式叫龙格－库塔(R-K)公式。式中 都是待定参数，可通过使公式的局部截断误差关于h的阶数尽可能高来确定。 §6.4 改进欧拉方法 改进欧拉方法的几何意义 (xn+1,yn+hk1) (xn,yn) (xn+1, y(xn+1)) (xn+1,yn+h(k1+k2)/2) k1=f(xn,yn) k2=f(xn+1,yn+hk1) x y xn xn+1 y(x) (k1+k2)/2 h §6.4 改进欧拉方法 改进欧拉方法的算法 1. 给定a, b, h, y0=y(a) 2. x=a , y=y0 ! 初值条件 3. do while(xb) 3.1 k1= f(x,y); yp=y+hk1 3.2 x=x+h; k2=f(x,yp) 3.3 y=y+h(k1+k2)/2 3.4 输出(x,y) End do §6.4 改进欧拉方法 例6.2 用改进欧拉方法求解，取h=0.1 解：应用改进欧拉方法求解，有 结果 0.409836 0.452489 0.500000 0.552486 0.609756 0.671141 0.735294 0.800000 0.862069 0.917431 0.961538 0.990099 y(xi) 0.001023 0.410859 1.2 12 0.000990 0.453479 1.1 11 0.000919 0.500919 1.0 10 0.000803 0.553289 0.9 9 0.000643 0.610399 0.8 8 0.000446 0.671587 0.7 7 0.000233 0.735527 0.6 6 0.000034 0.800034 0.5 5 0.000115 0.861954 0.4 4 0.000185 0.917246 0.3 3 0.000173 0.961366 0.2 2 0.000099 0.990000 0.1 1 |y(xi)-yi| yi xi i §6.4 改进欧拉方法 §6.4 改进欧拉方法 例6.3 试建立求解初值问题 其中 的如下数值算法 §6.4 改进欧拉方法 解: 利用数值积分方法 由此有 右边定积分用Simpson求积公式，得 §6.5 单步法的局部截断误差和方法的阶数 第六章 常微分方程的数值解法 在x=xn处，计算得到的近似值yn与准确值y(xn)的差别en=y(xn)-yn叫该数值方法在