第六章 平面问题-极坐标 .ppt

利用高阶导数顺序无关性 可导出如下协调方程 目前，已经找到极坐标中应力函数的通解如下： 其中 作业 1）设在厚壁管外套以绝对刚性的外套，使管不能发生轴向位移。厚壁管受均匀内压力q（如图所示），试求厚壁管中的应力及位移场。 作业 2）图示曲梁（二分之一圆环），其上端周向应力 的合力为P，对坐标原点O的力矩为零。求曲梁的应力。 作业 3）矩形薄板受纯剪作用，剪应力强度为q。设距板边缘较远处有一小圆孔，孔的半径为a。试求孔边的最大和最小正应力。 4）图示椭圆薄板中心有一个小圆孔，其半径为a。板的外边界作用有均匀分布的法向拉应力p。试求应力集中系数。 作业 5) 图示单位厚度的楔体，在顶点受一集中力偶M作用。试求应力分量。 应力计算式中的集中力倾斜角可取为 ，例如，对于垂直集中力 这时 是 的偶函数，应力分布对称于x轴。对于水平集中力 ，即悬臂楔问题，有 这时 是 的奇函数，应力分布对x轴反对称。可以看到，悬臂楔与悬臂梁不同，在其弧形的截面上剪应力 处处为零。 §6-7 非轴对称问题 应力计算式中的楔顶角可取为 。当 时，化为半无限平面问题。这时有 若令 ，它是由力作用线起算的角度（如下图），则对任意方向的斜力都有统一的公式，即： §6-7 非轴对称问题 在以上解答中令 。于是得 利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式 一、应力分量 §6-7 非轴对称问题 当平面体在边界上受有垂直于边界的力P，即 ,β=0时，如右图示： 其最大值为 在 的水平截面上， 应力分布如图所示。 §6-7 非轴对称问题 二、位移分量 假设是平面应力情况。将应力分量代入物理方程，得形 变分量 再将形变分量代入几何方程，得位移分量 §6-7 非轴对称问题 其中 、 、 都是任意常数。 由对称条件 ，得 代入上式，得： §6-7 非轴对称问题 如果半平面体不受铅直方向的约束，则常数I 不能确定。如果半平面体受有铅直方向的约束，就可以根据这个约束条件来确定常数I。 §6-8 关于解和解法的讨论 本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令 或 然后按如下步骤求解： 第一步，设法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数变化规律（例如 或 ）。 第二步，代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律（例如 或 ） 第三步，利用边界条件定出解中所含的待定常数。 第一步的判断带有一定的经验性，主要方法是： （1）根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部应力和应力函数的分布规律。利用对称性，反对称性，均匀（不变）性等特点经常使解题过程大为简化，但应用时要谨慎，以防误判。如果把一个既有对称成分又含有非对称成分的问题误判为对称问题，就不可能找到正确的解答。对各种试凑解法，把所得的解答代入全部基本方程和边界条件进行检验是十分重要的。 §6-8 关于解和解法的讨论 （2）把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。应该指出，当作这类推广时，所考虑的边界必须是坐标线。 （3）对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律。例如，轴线沿x方向的细长梁可简化为沿x轴的一维问题，所以材料力学解在x方向上的变化规律反映问题本质。而在y方向上则是基于平截面假设才导出了应力的线性变化规律，不能误把这线性规律当作前提假设代入弹性力学基本方程中去求解。 §6-8 关于解和解法的讨论 下面讨论第二步。把第一步设定的函数代入后，应力函数的重调和方程就简化为常微分方程，从中可解出应力函数沿另一坐标方向的变化规律。 直角坐标中应力函数的变化规律是： 为幂函数，则解得 也是幂函数，若 为三角函数，则 为 双曲函数以及再乘因子y。 极坐标系中应力函数的变化规律是： 为三角函数， 为r的幂函数，或重根时再乘以因子lnr。反之， 为幂函数，则相应的 为三角函数（含常数项）或 对环向不闭合情况再乘以因子 。 §6-8 关于解和解法的讨论 （4）灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解叠加起来去共同满足边界条件。 以上主要结合应力函数解法作了讨论。对于位移解法或应力解法，试凑法的处理原则是相同的，区别仅在于所考虑的基本未知量及相应的基本方程的不同。 §6-8 关于解和解法的讨论 对应力的放松边界条件。一旦边界条件正确给定，求待定常数只是解代数方程的数学问题。 第三步的关键是要正确地给定边界条件。在主要边界上应逐点给定