第六章 平面问题-直角坐标.ppt

* * * * * * * * 由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得： * * * * * * * * * * * * * 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。 § 6.4 直角坐标解例 设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如下图所示，上下两边的横向载荷分别为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。 简支梁受任意分布载荷 § 6.4 直角坐标解例 为了满足边界条件（c），取： l ) ,… 3 , 2 , 1 ( = = m m m p a 上下两边正应力的边界条件： 上下两边剪应力的边界条件： 左右两端正应力的边界条件： 左右两端剪应力的边界条件： （a） （b） （c） （d） § 6.4 直角坐标解例 应力分量简化为： § 6.4 直角坐标解例 代入边界条件（b）和（a），得 由此可以得出求解系数 、 、 、 的方程。 （e） （f） （g） （h） § 6.4 直角坐标解例 由式（e）、（f），得 （i） （j） 按照傅立叶级数展开法则，有 与式（g）对比，得 （k） § 6.4 直角坐标解例 同样由式（h），得 （l） 求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用两个反力与荷载的平衡作为校核之用。 求出式（k）及式（l）右边的积分以后，可由（i）、（j）、（k）、（l）求出系数 、 、 、 ，从而由公式（1）求得应力分量。 § 6.4 直角坐标解例 用级数求解平面问题时，计算工作量很大。 由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应 力的解答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度 同等大小的梁，这种解答是没有用处的。 结论 § 6.4 直角坐标解例 作业 1 如图所示矩形薄板，厚度为1。验证下列函数能否作为应力函数？若能，写出应力分量表达式（不计体力）。并利用边界条件画出边界上的作用力。 （1） （3） （4） （5） （6） （2） 2 对上题的矩形薄板可建立不同的坐标系。试研究当坐标原点分别位于 在下角点A； 在上边中点B； 板中心C时应力函数 所代表的应力及外力。 作业 3 图示单位厚度的正方形板，顶角受一对P力作用。 试求边界AB，BC，CD，DA上的 的值。 4．矩形截面的柱厚度为1， ，在一边侧面上受均布剪力q作用（如图示）试求柱中的应力分量。 作业 5．图示简支梁，仅承受自重作用，单位体积的重量为 ，试检验应力函数 能否成立?并求出各系数及应力分量。 作业 悬臂梁 有限元模拟（1） 理论解 X 方向的应力图 Y 方向的位移图 Mises 等效应力图 XY 方向的剪应力图 有限元模拟（2） 两端简支梁 理论解 Mises 等效应力图 X 方向的应力图 XY 方向的剪应力图 Y 方向的应力图 * 本节将证明，这两个特点保证了物体内存在与坐标z无关的二维应力、应变状态。 * 在平面应变状态中只出现三个面内的应变分量，而应力分量有四个；在平面应力状态中只出现三个面内的应力分量，而应变分量有四个。 * 由于按平面应力处理的大量实际问题都是薄板形构件， 所以通常不严格区分广义平面应力状态和纯平面应力状态。 但对于两端自由而轴向尺寸较大的构件，检验是否满足线性条件是很重要的。满足线性条件的是平面应力问题，否则应按广义平面应变问题（将在本节最后讨论）处理。 对于轴向尺寸远小于截面尺寸的薄板形构件，或在物体自由表面附近的一薄层内，可以证明应力和面内应力分量相比可以忽略，因而即使不满足线性条件，仍可近似地按平面应力状态处理，称为广义平面应力状态。 应该指出，在广义平面应力状态中，面内应力、应变和位移沿板厚是变化的，此时考虑的是它们沿板厚的平均值。 * 这意味着，为保证平面应变状态，两端必须存在按 左式分布的端面载荷 或存在轴向刚性、面内光滑的端面约束。如果端面载荷不按左式分布但和它静力等效或端面约束在面内有摩擦，则平面应变状态仅存在于两端圣维南过渡区之外。 如果连静力等效也不保证，则应按广义平面应变状态来处理。 * 在实验中，体力载荷很难模拟，有了载荷替换关系，加载 装置的设计就方便了。 * * 以上给出了由边界载荷确定应力函数及其一阶偏导数边界值的简单公式 * * 第二步：代入基本方程 和边界条件进行检验，如不能满足，再配上