第六章 柱形杆问题.doc

第六章 柱形杆问题（注释） （ⅰ）柱形杆问题的边值问题——圣维南问题 的描述特征 即时有描述不易求解 静力等效 四种问题： 1.简单拉伸 2.纯弯曲 3.扭转 4.横力弯曲 三种边界条件 等效 三种力和三个弯矩 即 在处 (6.2) 在处 (6.2) 侧面自由 (6.1) 问题和方程的性质详见王敏中、武际可《弹性力学引论》P102-P144。 (ⅱ) 关于柱形杆的纯扭转问题 位移法：注意位移的变形模式 (6.17) 这一变形模式来源于对圆截面变形模式的理解 刚性转动，没有翘曲 （6.14） 以下是常数的问题 位移解法，归纳为 边界条件 侧面 底面 (6.23) 应力解法： 假设 其余应力分量为零。 应力解法归纳为B-M方程得出应力函数F(x,y)满足： (6.30) 边界条件，侧向 单连通域 F= 0 复连通域 F = C(常数)——只可以有一个围道为零。 单连通域 (6.36) 在推导的过程中要注意的表达式，这是很关键的。 应力解法简便处在于知道杆截面的形状可以构造应力函数F 关于问题 P118页 证明： 由 得出 实质是所做的应变能。 这是应用 这是应用边界条件（侧面） 则 显然 若 显然不可能，因而：， （ⅲ）关于函数的性质及薄壁结构的扭转； 普朗特应力函数φ的两个性质是解决薄壁结构的理论基础 性质1：截面内任意处的总剪应力τ的指向该点处应力函数等法线的切线方向，其大小等于Φ的梯度，即Φ沿内法线方向的导数值 Φ的等法线为剪应力迹线 性质2：应力函数Φ的闭合等值线上剪应力积分和等值线所包围的面积成正比 其中为迹线L所包围的面积。 *性质2表现为位移的单值性。 第六章习题 6-1 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。 解： 对于圆截面杆 取 则 (公式6.15) 6-2 若柱体扭转时横截面上应力为，证明该柱体截面是圆。 解： 采用位移解法 (1) 在侧面边界上满足： (2) 将（1）与圆截面应力对照，得出 即在截面边界上 φ=常数。 将题设应力代入边界条件（2） (3) 注意 则在侧面边界 即该柱体截面是圆。 6-3 半径为a的圆截面杆两端作用扭矩。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。 解： 本题是椭圆截面杆的特例 a=b，则 由 可得 则 （第一题） 最大剪应力发生在r=a 处： 可以求出位移分量为： 6-4 函数 能否作为图6-4所示正三角形截面杆的扭转应力函数？若能，写出其应力分量和位移分量。 解： BC的方程为： 即 ； 则 AB方程为： AC方程为： 则 可以满足在边界上 。 即Φ是满足边界条件的扭转应力函数。 代入 即找出 使应力函