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第六章 傅立叶展开 §6.3 复数形式的傅立叶级数 f (x)为周期T=2l的周期函数。 其中： 欧拉关系： 令 代入傅立叶展开式中，则： 将展开系数ak、bk代入： 将第三项 k?-k: 周期为2l的函数的复数形式的傅立叶级数。 【讨论 】 由 设： 实函数 也是实数， 因此复数形式的傅立叶级数 代表一个实函数f (x). 由 是k次谐波幅度的1/2. 其中 k次谐波的幅度为 .因此，由复数形式的傅立叶级数求k次谐波的幅度有时比较简便。 正交完备性 选取复数指数函数， 作为基本函数系。 正交性 完备性证明略。 例 矩形波f (x)在(-?,?)这个周期内： 试把它展成复数形式的傅立叶级数。 【解 】由前面例题得到： 复数形式： 奇函数对称区间积分为零 【注意】 当 时， 可见复数形式和三角函数形式的傅立叶级数均代表同一个实函数。 §6.4 非周期函数的傅立叶积分 从数学上，我们可以将周期函数分解为一系列谐函数，在物理上，就是将周期性的机械振动分解为一系列谐振动，把周期性的交变电压或电流分解为一系列谐变的电压和电流。 那么，非周期性的机械振动是否也能分解为谐振动呢？非周期的交变电压或电流是否也能分解为一系列谐变的电压和电流呢？从数学上说，非周期函数是否也能分解为谐函数？ f (x)定义在(-?,?)内的非周期函数，对它进行傅立叶展开时，可以把它看成周期为2l，当l趋于无穷极限情况下的周期函数的傅立叶展开。 设： 非连续的 当l??时，???0，?由不连续变为连续量 . 令l??， 其中： 或 傅立叶换式 也可以写成： 或 【讨论】 傅立叶变换要求f (x)从-???绝对可积，即 =确定有限值；而拉普拉斯变换 仅要求在0?+?内 ，可见傅立叶变换的 条件比拉普拉斯变换高。 拉普拉斯变化中 ，如果s=0,且将???，则拉普拉斯变换?傅立叶变换。 三角函数的傅立叶积分： 写成： 其中： ?的定义域为（0，?）， 是对?的积分，因此积分从0??； 而f (x)的定义域为（?，?）， 因此积分为???. 【讨论 】 若f (x)为奇函数，则： 若f (x)为奇函数，则： 分别称为正弦傅立叶积分、余弦傅立叶积分。 例1、矩形脉冲的频谱. 【解 】三角函数形式： f (x)是偶函数，故 复数形式： 可以将复数形式的傅立叶积分转化为三角函数形式的傅立叶积分： 【讨论 】 两种形式的傅立叶积分代表同一个实函数 周期函数： k次谐波的幅度为 ，可见周期函数的频谱是分立谱。 而矩形脉冲： 是圆频率为?的余弦波的幅度，而?：0??，显然非周期函数的频谱是连续谱。 矩形波的情形： 圆频率为（1，3，5，…）的幅度为 矩形脉冲的情形： 从 可以看到A(?)按正弦变化，其幅度随 着?的增大其幅度越来越小，A(?)曲线与?轴的交点为: （衰减振荡）。 讨论T?0, h??，且2hT=1的极限情况。此时的矩形脉冲f (t)变为狄拉克函数?（t）. 可见，狄拉克脉冲包含从0??之间任何一种圆频率的正弦（余弦）波，且其幅度都相等。 大到太阳黑子的爆炸、雷电现象、极光、…，小到日光灯的启动关闭…，都会对电磁场产生干扰，作用时间很短，可近似看成?函数。因此，不管是何种类型的无线电接收机，也不管它们调谐到何种频率，都会受到干扰，而且干扰的程度相近。 例2、正弦波列的频谱。 【解 】真实电台发射的时间，不可能是（-?，?），而只是发射一段时间，在发射的时间内具有周期性。 f (t)是奇函数，因此： 可以看出，在?= ?0是一个特殊的点，?偏离?o时，按正弦变化，幅度越来越小，（衰减振荡） 从 求曲线与?轴的交点，令?=?+??， 从谱图可以发现：从理论上，只要N有限，圆频率不是 单一频率，应该0??，但是频谱主要集中 在范围内，只要N足够大， 就相当小， 因此可以近似认为只要单一频率?o。 例3、 【解】正弦傅立叶积分： 将f (x)奇延拓到（-?，0），如图 利用拉普拉斯变换： 余弦傅立叶积分： 将f (x)偶延拓到（-?，0），如图 利用拉普拉斯变换: 也可以利用循环积分求出A(?)、B(?). 还可以如下解： §6.5 希耳伯空间 广义傅立