第六章_线性变换_68180769.doc

第六章 线性变换 映射：，如果有一个法则，它使得X中每个元素，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为X到Y的一个映射，记作，，称为在下的象，称为在下的原象。 注：。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V是数域F上的线性空间，是V的一个变换，如果满足条件： （1）； （2）， 则称是V上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件： 。 例：设：，定义为，c为常数。-----数乘变换或位似变换。 c=0-----零变换，记为o。 c=1-----恒等变换，记为。 例：设(是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转(角的变换 设，则 记，则是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 线性变换的基本性质 （1）； （2）； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若，则； 若，则。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ----线性空间上所有线性变换的集合。 定义 设，它们的和定义为 易证，即线性变换的和仍是线性变换。 ，有 定义 设，与的数量乘法定义为 同样 可以直接验证，下列性质成立： ； ； ； ； ； ； ； . 定理 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域上的线性空间。 定义 设，定义线性变换的乘积为 易证，且，变换的乘积还有如下性质： ； ； ； ； ； . 注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。 定义 设，如果存在，使得 则称是可逆的，称为的逆变换。(逆变换是唯一的。) 的逆变换记为，且. 规定：，则 注意：。 定义：设，且，给定，称为线性变换的多项式。显然。 线性变换在一组基下的矩阵 定理1 设是n维线性空间V的一个线性变换，是V的一组基，则V中任一向量的像由基的像所完全确定。 设是V的一组基，则可由线性表出，设 记，则有 称A为线性变换在基下的矩阵。 注1：A不一定是可逆矩阵。 注2：。 定理2 设线性变换在基下的矩阵为A，向量和在这组基下的坐标分别是和，则 y=Ax. 证明：因为 即y=Ax. 例 设线性变换在基下的矩阵为 求在基下的矩阵B。 例 设是的一组基，是的线性变换，且，求在这组基下的矩阵；若在下的坐标为，求在这组基下的坐标。 线性变换与矩阵的一一对应关系 引理 设是n维线性空间V的一组基，则对任意给定的n个向量都存在线性变换，使得。 证明：设是任一n维向量， 定义一个变换为： 则有。以下证明是一个线性变换。 设，则 定理1设是n维线性空间V的一组基，是任一n阶矩阵，则有唯一的线性变换满足 。 证明：构造向量如下： 由引理，存在线性变换，使得，于是 即存在线性变换在基下的矩阵是A。 如果有两个线性变换在基下的矩阵都是A 则 即 例 已知的一组基，求(1)线性变换，使在这组基下的矩阵是; (2) 求线性变换，使得。 定理2 设V是F上n维线性空间，则L(V)与Mn(F)同构。 证明：在V中取一组基，设，则 定义映射，使得。易证是双射，且 即 。 对任意的，有 即 所以是同构映射，即L(V)与Mn(F)同构。 例 设V是数域F上的n维线性空间，证明由V的全体线性变换组成的线性空间L(V)是n2维的。以二维线性空间为例，写出L(V)的一组基。 定理3 设是同构映射，则对， 。 证明：设，则 即。 推论：设，若可逆，则A是可逆矩阵，且；反之，如果A可逆，则也可逆。 线性变换的核与值域 定义1 设，的全体像的集合称为的值域，记作Im. . 定义2 设，所有被映成零向量的向量的集合称为的核，记作ker，即 。 结论：Im及ker都是V的子空间。 定义3 dim Im称为线性变换的秩，dim ker称为线性变换的零度。 例：零变换o：。 例：恒等变换： 定理1 设，是V的一组基，A是在这组基下的矩阵，则 （1）； （2）的秩=A的秩； （3）dim ker=n-秩A。 证明：设，则 显然，所以（1）成立。 （2）由（1）知，，又A的列向量是在基下的坐标 建立的同构映射，把V中每个向量与它的坐标对应，由于通过映射保持向量组的一切线性关系，因此，向量组 ， 所以的秩=A的秩。 （3）设，设，则 由于线性无关，所以有Ax=0。 反之，假设是以满足Ax=0的解x为坐标的向量，即 ，则 所以因此维数与Ax=0的解空间的维数相等，即dim ker=n-秩A