第六章_结构振动特征值问题的矩阵摄动法.doc

第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法 §6.1 概述 工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。 矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。 §6.2 孤立特征值的摄动法 对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解： （6－1） 分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第个特征值，为第阶固有频率，为第阶特征向量（固有模态）。结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。即 （6－2） （6－3） 称为小参数。 先看是单根的情形。上标代表第个根，下标代表参数未变化的原结构。从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数展开为： （6－4） 代入方程（6－1），略去以上的项，比较同次幂的系数，得到： （6－5） （6－6） （6－7） 、、、分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。因此，只要解出了原系统的特征值和特征向量，并知道了质量阵和刚度阵的改变量、，就可以求出特征值的摄动解。 【一阶摄动】 由展开定理， （6－8） 代入(6－6)式 （6－9） 方程两边乘以并利用正交性公式： （6－10） 得到： （6－11） 即： （6－12） 当时，， （6－13） 当时， （6－14） 根据振型的正交性： （6－15） 将（6－4）式代入 （6－16） 展开并比较的同次幂项，有： （6－17） （6－18） （6－19） 用前乘（6－8）式，根据正交性，有： （6－20） 转置得到： （6－21） 代入（6－18）式，得到： （6－22） 所以，代入（6－8）式得： （6－23） 故一阶摄动解为： （6－24） 【二阶摄动】 同样根据展开定理： （6－25） 代入（6－7）式，得： （6－26） 上式两端左乘，并利用正交性，得到： （6－27） 当时，，，特征值的二阶摄动解为： （6－28） 当时， （6－29） 当时，的确定如下： 以乘，根据正交性得到： （6－30） 转置得： （6－31） 代入到（6－18）式，得到： （6－32） 故特征向量的二阶摄动解为： （6－33） §6.3 退化系统特征值的摄动 当系统有重频时，称为退化系统。退化系统特征值的摄动有两个特点。即：参数变化后，原来的一组特征值由重特征值变为非重特征值；参数变化后，特征向量可能产生跳跃。即 （为重频数） （6－34） 不再是一个小量。下面以一个简单的例子来说明。 图示的两自由度系统，其运动方程为： （6－35） 记：，则 （i） 当 （6－36） （ii） 当 （6－37） （iii） 当, （6－38） 由此看到，对退化系统，当参数有小的变化时，有时特征向量会发生突变的跳跃现象。其原因是在重频时，对应的特征向量选取有一定的任意性，现在的问题是如何找到一组合适的特征向量来消除跳跃现象。 设退化系统的某个特征值为重特征值，相应的有个两两