第六章功率谱估计电子教案.doc

第六章 功率谱估计的经典方法 §6.1 引言 从第二章的讨论中，我们已经知道一个随机信号在各时间点上的值是不能先验确定的，它的每个实现(样本)往往是不同的，因此无法象确定信号那样可以用数学表达式或图表精确地表示它，而只能用它的各种统计平均量来表征它。其中，自相关量作为时移的函数是最能较完整地表征它的特定统计平均量值。而一个随机信号的功率谱密度(函数)，则是自相关函数的傅立叶变换。对于一个随机信号来讲，其能量通常为无限大，它本身的傅立叶变换是不存在的，常常需要研究其功率在频域上的分布。因此，功率谱密度是一个随机信号的一种最重要的表征形式。我们要在统计意义下了解一个随机信号，就要求知道(或估计)它的功率谱密度。 如果我们用表示随机信号的自相关函数，表示它的功率谱密度(以下简写成PSD)，则有： (6.1) 而其中 (6.2) 即为滞后积的数学期望。 根据各态历经假设，零均值广义平稳随机过程的集合的平均可以用一个样本序列的时间的平均代替，于是上式可写成 (6.3) 实际上，首先不可能获得样本序列的所有数据，即无数个x(n)，其次通常检测到的数据都是含有噪声或者干扰。因此，只能根据有限个含有噪声的检测数据估计随机信号的自相关序列，进而估计功率谱。 将式(6.3)代入式(6.1)得 令，则，上式可写成 (6.4) 式(6.4)在的极限情况下是不可能收敛的，这是因为对于无限时域的随机信号，它的傅氏变换是不存在的。实际上只有将式(6.4)求平均，成为 (6.5) 才有意义。以后我们还将会看到，只有将式(6.4)经过求平均(或平滑)，即只有式(6.5)才能满足一个正确的估计必须满足的一致估计的条件。 由于实际得到的随机信号只能是它的一个实现或一个样本序列的片段，因此问题是如何根据它的有限个样本序列来估计信号的自相关函数或功率谱密度。这是本章要讨论的中心内容。当我们用一个样本的记录的有限个数据来估计自相关函数和功率谱密度时，有 (6.6) (6.7) 这里 (6.8) wN为矩形函数， 或按式(6.4) (6.9) 这里是有限长序列的傅氏变换。 一个好的估计应该是①无偏估计，②最小方差估计。如果我们用表示某个随机变量的真值，表示它的估计值，则希望满足： (1) 无偏估计 无偏估计，即的偏差(Bias)为零，所谓偏差(用B表示)定义为 无偏估计即B＝0，的估计。图6.1中的估计1和估计2都属于无偏估计。 (2) 最小方差估计 最小方差估计，即方差 为最小的估计。图6.1中，估计2较之估计1方差小。 图6.1 二种估计的概率密度分布 但是常常发生这种情况，一种估计的偏倚较小，而方差较大；另一种估计偏倚较大而方差较小；此时很难定哪一种估计好。因此也常常用均方误差的大小来衡量估计的优劣。在第二章中我们已经讨论到均方误差定义为 不难证明 均方误差为与偏差和方差均有关，要最小就要求B2与之和最小。 由于，当时式(6.6)就成为式(6.3)。因此应有 这就是说，当观察到的样本的数据有无限多个时，按照无穷多个这样的样本数据估计到的自相关函数应该就是自相关函数的真值(各态历经假设)。换句话说，一个正确的估计应有 (6.10) 满足式(6.10)的估计称为一致估计。一个正确的估计应该满足一致估计的条件(这是正确估计的必要条件，不是充分条件)。反之，如果某种估计方法不能满足式(6.10)一致估计的条件，则这种估计方法一定是不正确的。下面我们在讨论各种估计方法时，常常以此作为估计正确与否的主要准则之一。 功率谱估计有着极其广泛的应用，不仅在认识一个随机信号时，需要估计它的功率谱。它还被广泛地应用于各种信号处理中。下面我们举三个应用的例子。 ① 在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)。例如，在最佳线性过滤问题中，要设计一个维纳滤波器就首先要求知道(或估计出)信号与噪声的功率谱密度(或自相关函数)。根据信号与噪声的功率谱(或)才能设计出能够尽量不失真的重现信号，而把噪声最大限度抑制的维纳滤波器(见第二章)。 ② 常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。例如，当我们要