第六章数列64数列的综合问题与数列的应用.ppt

重点难点 重点：等差、等比数列的基本概念，通项公式和前n项和公式及其应用． 难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题． 知识归纳 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决． 如何求解数列应用问题 建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列的模型，还是递推数列模型？是求an还是求Sn？还是求n? 建立数学模型的一般方法步骤是： (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题； ②弄清题目中的主要已知事项； ③明确所求的结论是什么． (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式． [例1]　已知{an}是公比为q的等比数列，且a6，a4，a2成等差数列，则q＝(　　) A．－2　　　B．±2　　　C．－1　　　D．±1 分析：此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前n项和)公式列方程求解．解方程时，注意等比数列的首项和公比都不能为0. 解析：由题意得2a4＝a6＋a2，即2a1q3＝a1q5＋a1q，又a1≠0，q≠0，因此q4－2q2＋1＝0，由此解得q＝±1. 答案：D 公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　) A．18 B．24 C．60 D．90 答案：C [例2]　如图，n2个(n≥4)正数排成n行n列方阵，其中每一行的数都成等差数列，每一列的数都成等比数列，并且所有公比都等于q，若a11＝，a24＝1，a14＝2. a11　a12　a13　…　a1n a21　a22　a23　…　a2n …　…　…　 …　… an1　an2　an3　…　ann (1)求公比q的值； (2)求a1k(1≤k≤n)的值； (3)(理)记第k行各项和为Ak＝ak1＋ak2＋ak3＋…＋akn，求A1、A2及数列{Ak}(1≤k≤n)的通项公式． 已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵： a1 a2　a3 a4　a5　a6 a7　a8　a9　a10 …　…　…　…　… 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________． 解析：a6－a3＝3d?d＝3(d为等差数列的公差)，第20行前共有1＋2＋…＋19＝190个数，∴第20行从左到右的第10个数是a200＝a3＋(200－3)d＝598. 答案：598 答案：B 答案：B 答案：A 点评：当n为整数时，(n＋1)2－n2[(n＋1)＋n][(n＋1)－n] ＝n＋(n＋1)．巧妙的利用这一关系可简化S2010的计算过程. [例5]　用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解析：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}， 故a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01 ＝121－n(万元)　(1≤n≤20，n∈N*)． (2010·福建龙岩市质检)已知函数f(x)的图象是顶点(2,4)，过原点的抛物线，g(x)是图象经过点(3,8)的指数函数，已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝f(x)的图象上，点(n，bn)在函数y＝g(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 解析：设f(x)＝a(x－2)2＋4，将(0,0)代入得a＝－1，∴f(x)＝－x2＋4x，设g(x)＝ax，将(3,8)代入得a＝2， ∴g(x)＝2x， 由条件得Sn＝－n2＋4n， ∵当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5. 又当n＝1时，a1＝S1＝3，也符合上式， ∴an＝－2n＋5. 一、选择题 1．(2010·湖南郴州)某同学在电脑中打出如下若干个圈： ●○●○○●○○○●○○