不等式证明之反证法.ppt

教学目标 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 (　　) ①结论相反判断，即假设　②原命题的结论 ③公理、定理、定义等　　④原命题的条件 A．①④　　　　　　　　 B．①②③ C．①③④ D．②③ [答案]　C [解析]　由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C. 2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案]　C [解析]　“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C. 3．如果两个实数之和为正数，则这两个数(　　) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案]　C [解析]　假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C. 作业 P29 习题2.3 4 * 广东省阳江市第一中学周如钢 不等式证明 -----反证法 灵宝五高高二数学组 一.复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ （1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程 （2）“两边凑” 综合分析法 思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 假设C没有撒谎, 则C真; 由A假, 知B真. 那么假设“C没有撒谎”不成立; 则C必定是在撒谎. 那么A假且B假; 这与B假矛盾. 推出矛盾. 推翻假设. 原命题成立. 分析: 由假设 反证法 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的思维方法： 正难则反 请你概括反证法的证明过程： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真. 归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立. 请你概括反证法的证明过程： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 归谬矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与反设矛盾； （3）与已有公理、定理、定义矛盾； （4）自相矛盾。 应用反证法的情形： (1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题； 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此. 例2、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求证：a, b, c 0 证：设a 0, ∵abc 0, ∴bc 0 又由a + b + c 0, 则b + c ?a 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc 0矛盾， ∴必有a 0 同理可证：b 0, c 0 例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 证明：设(1 ? a)b1/4, (1 ? b)c1/4, (1 ? c)a1/4, （1）必须先否定结论，