第十一章 级数.doc

第十一章 级数 学习测试题答案 选择题 （1）A：由和收敛，则收敛，且因为 ，则由正项级数比较判别法知收敛。 B：若，，则收敛，但是 发散，所以结论不成立。但若和收敛，由正项级数比较判别法可知收敛。 C：因为发散，则由正项级数比较判别法可知发散。 D：若收敛，，，但发散。题目如要求为正项级数，则结论成立。 （2）A：满足题目要求，但为发散级数。 B：令，则，可见其可以分解为收敛数列和发散数列和的形式，所以发散。 C：令，则发散。 D：由题，则绝对收敛。 （3）由题，因为和都收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，即原级数绝对收敛。 （4）A：令，则它们都收敛，但发散。 B：令，则它们都收敛，但发散。 C：令，则它们都收敛，但发散。 D：，都收敛，则，所以存在，当时，，，所以时，则绝对收敛。 （5）A：收敛，但。 B：由题收敛，则则其部分和数列存在，由P19 收敛数列有界性定理，所以有界。 C：收敛，但不存在。 D：若收敛，则存在，进而由数列收敛的柯西定理得到选项结果。 （6）由题，则。 （7）由题，，则所求的幂级数收敛半径为。 （8）A：发散，但收敛。 B：收敛，且也收敛。 C： 收敛，但不存在。 D：所以以上三个结论均不正确。 收敛级数可以随意添加括号，而不影响其敛散性， （9）A：由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。 B：若，，则它们均发散，且，但收敛。 C：若，，则收敛，且，但发散。 D：由题，且，都收敛，由正项级数比较判别法可知收敛，即绝对收敛。 （10）由题收敛，则，所以存在，当时，，即，而收敛，由正项级数比较判别法可知绝对收敛。 （11）由题，则为有界函数，所以存在，使得，又收敛，则绝对收敛。 （12）若收敛，则，若收敛，则。所以。 （13）A：令，， ，则但收敛， 发散，所以它们不是同时收敛同时发散的。 说明一下发散： ，由莱布尼兹判别法知，收敛，又发散，则发散。 选项如加上其中一个级数为同号级数则由正项级数比值判别法知，同时收敛同时发散。 B：正确，这时为同号级数，且，所以发散。 C：若，则，但发散。 D：正项级数收敛，但。 （14）由题存在，当时，，所以，当，收敛，则收敛。当，则，所以发散。 （15）A：，但发散。 B：，但收敛。 C：，但发散。 D：，且单调递减，则存在。但并不能保证极限不为零，如，则 。 （16）由题在半径内一定收敛，则其收敛半径。 （17）由题，则，所以，则，即收敛半径为。 （18）考虑，则收敛域为或。 （19）由题的收敛区间为，的收敛区间为，则。 （20）由题，则，所以，则，即收敛半径为。 （21）由题表示所有正项的和，表示所有负项的和，所以若绝对收敛，有和收敛。若条件收敛，则和发散（否则若和收敛，则和绝对收敛，即绝对收敛，矛盾）。 （22）由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。 填空题 （1）。 （2）由题或时级数收敛，和为。 （3）有交错级数莱布尼兹判别法可知当，单调递减且时， 收敛。 （4）级数收敛的必要条件是通项极限为，即 ，即。 （5）若级数绝对收敛，则要求或。 （6） ，所以收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为， 收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为，所以其收敛半径为，收敛区间为两收敛区间的交集，即，收敛区域为两收敛区域的交集，即。 （7）。 （8） 。 （9） 。 （10）由反三角函数和差化积， 。 （11）由题 ，所以。 （12）。 （13）由题级数的收敛半径为，所以收敛区间为由发散，收敛，则为收敛区域的右端点，所以，即。 （14）收敛，则收敛，则只能，所以 或。 （15）由题，所以，由正项级数比值判别法可知收敛，即要求。 （16）由题，则，则，即所求级数的收敛半径为。 （17）由题单调递减且有解，则存在，且（若等号成立，则与交错计数莱布尼兹判别法矛盾），则。 （18）显然，都收敛是收敛的充分条件，但即使收敛，，都发散，所以非必要条件。 （19）显然后者的收敛区间为前两个级数收敛区间的交集，即。 （20）由题，则，即收敛区间为，。由题在端点处皆不收敛，所以收敛域为，。 （21）由题，所以。 （22）由题，考虑 ，所以所求级数收敛半径为1 解答题 一．（1） ， 由此。所以 。 （2）由题级数通项为，因为，则级数发散。 （3）由题，，则所求级数收敛且其和为。 （4）由题 ，由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛。 （5）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知 与同时收敛，同时发散，所以当时收敛，当时发散。 （6）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知与同