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§1.1.1 集合的含义与表示(1)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P2~ P3,找出疑惑之处)
讨论:军训前学校通知:8月15日上午8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?
引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的总体.
集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1:考察几组对象:
① 1~20以内所有的质数;
② 到定点的距离等于定长的所有点;
③ 所有的锐角三角形;
④ , , , ;
⑤ 东升高中高一级全体学生;
⑥ 方程的所有实数根;
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车;
⑧ 2008年8月,广东所有出生婴儿.
试回答:
各组对象分别是一些什么?有多少个对象?
新知1:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set).
试试1:探究1中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么?
探究2:“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?
新知2:集合元素的特征
对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征.
确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.
互异性:同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性:集合中的元素没有顺序.
只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 .
试试2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素:
① 不等式的解;
② 3的倍数;
③ 方程的解;
④ a,b,c,x,y,z;
⑤ 最小的整数;
⑥ 周长为10 cm的三角形;
⑦ 中国古代四大发明;
⑧ 全班每个学生的年龄;
⑨ 地球上的四大洋;
⑩ 地球的小河流.
探究3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢?
新知3:集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)集合A,记作:a∈A;
如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)集合A,记作:aA.
试试3: 设B表示“5以内的自然数”组成的集合,则5 B,0.5 B, 0 B, -1 B.
探究4:常见的数集有哪些,又如何表示呢?
新知4:常见数集的表示
非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作N;
正整数集:所有正整数的集合,记作N*或N+;
整数集:全体整数的集合,记作Z;
有理数集:全体有理数的集合,记作Q;
实数集:全体实数的集合,记作R.
试试4:填∈或:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, Q, R.
探究5:探究1中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢?
新知5:列举法
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法.
注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a与{a}不同.
试试5:试试2中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示.
※ 典型例题
例1 用列举法表示下列集合:
① 15以内质数的集合;
② 方程的所有实数根组成的集合;
③ 一次函数与的图象的交点组成的集合.
变式:用列举法表示“一次函数的图象与二次函数的图象的交点”组成的集合.
三、总结提升
※ 学习小结
①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集及表示;④列举法.
※ 知识拓展
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思
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