江苏省2012届高考数学信息卷（三）（解析版）苏教.doc

2012 高考数学信息卷三 一、填空题 1. 已知，则=. 提示：依题意得，又，则. 2. 已知函数，若，则的取值范围是（-1,3）. 提示：由题知，，若， 则9+，即，解得. 3. 如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则= . 提示：依题意得，所以是等腰直 角三角形，又斜边上的高为2，因此有=4, 即 该函数的最小正周期的一半为4，所以，. 4. 已知{}是等比数列，，则的取值范围是 [4,8) . 提示： 因为{}是等比数列，所以可设.因为，所以，解得.所以.因为，所以. 5.在中，为中点，,则=. 提示：在和中分别使用正弦定理即可. 6. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 . 提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、 、、、上. 或者，若在上，设, 有. 故上有一点（的中点）满足条件. 同理在、、、、上各有一点满足条件. 又若点在上上，则. 故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点. 7. 已知、是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为、、、, ,则 -5 . 提示：设、，，， ，，由. 得，即. ， ，. 二、解答题 1. 已知关于x的不等式. (1)当时，求此不等式的解集； (2)当时，求此不等式的解集. 解：(1) 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. (2) 当时,不等式可化为， 当时，解集为 当时，解集为 时，解集为 2. 已知菱形中，，，将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置，点、、分别是、、的中点. 证明：//平面. 证明：. 当时，求线段的长。 解：（1）证明：，//平面. (2) 证明：取中点，连，在菱形中 , 所以平面，所以. (3) ,平面，，. 3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点． (1) 若BC=a=20, 求储存区域面积的最大值； (2) 若AB=AC=10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域DBAC的最大面积. 解：(1)设 由， 得. 即 (2) 由，知点在以，为焦点的椭圆上， ∵，∴要使四边形DBAC面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点．由，得短半轴长面积的最大值为. 因此，四边形ACDB面积的最大值为． 4. 已知{}是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和. (1) 当成等差数列时，求的值； (2) 当成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列. 解：(1) 若公比，则. , 不满足成等差数列，.. 成等差数列,,即， 即. ,. 又，. 即，. (2) 若公比，则，成等差数列; 若公比，由成等差数列，得， 即，. 又， ，也成等差数列. 5. 已知双曲线. (1) 若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点，求椭圆方程. (2) 设(1)中椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，直线为椭圆的右准线，为上的一动点，且在轴上方，直线与椭圆交于点M. 若,求的余弦值； (3) 设过三点的圆与轴交于两点,当线段的中点为时，求这个圆的方程. 解：(1)双曲线焦点为，设椭圆方程为. 则 . 故椭圆方程为. (2) 由已知， 直线的方程为.设 , 由点在椭圆上，得 故所求的点M的坐标为. 所以. (3) 设圆的方程为将三点坐标代入，得 得 圆的方程为令得 设，则 由线段的中点为，得. 此时，所求圆的方程为 6．定义在D上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数 的上界.已知函数. (1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由； (2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 解：(1)时， 上单调递增， 故函数在上的值域为 又, 不存在常数，使都成立. 故函数在上不是有界函数. (2) 若函数在上是以3为上界的有界函数, 则在上恒成立. 即 即在上恒成立. 令， . 令，则. 令，则. 实数的取值范围为 三、理科附加题 1.如图，两点间有5条线，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为. (1)写出信息总量的分布列. (2)求信息总量的数学期望. 解：(1)由题意得,的可能取值为7, 8, 9, 10. 的分布列为： 7 8 9 10 (2) 2. 已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦. (1) 求的值； (2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相