基于三次样条插值的数值积分算法解剖.doc

目 录 中文摘要 II 1 研究现有数值积分算法的基本原理 1 1.1 插值型数值积分算法的基本原理 1 1.1.1矩形法 1 1.1.2梯形法 1 1.1.3 Simpson公式法 1 1.1.4 Newton-Cotes法 2 1.2 Gauss型数值积分算法的基本原理 2 2 三次样条插值函数逼近的基本原理 2 3 三次样条插值函数的构造 3 4 基于三次样条插值的数值积分算法 4 4.1 数值积分算法公式 4 4.2 代数精度分析 6 5 数值实验与分析 8 结语 11 参考文献 12 基于三次样条插值的数值积分算法研究 摘要：现有数值积分算法主要有Gauss型和插值型两大类。其中Gauss型数值积分算法是通过寻求Gauss点来构造数值积分公式，但当求积精度要求较高时，寻求Gauss点的复杂性增大，从而致使相应数值积分公式的构造往往显得比较困难。 插值型数值积分算法主要是通过插值逼近被积函数来构造数值积分公式。该类算法主要是基于Lagrange插值的数值积分算法，其中包括矩形法、梯形法、Simpson公式法、Newton-Cotes法等。对基于Lagrange插值的数值积分算法而言，当插值函数次数较低时，精度较高，但函数的光滑度不好；当插值函数次数较高时，虽然函数的光滑度提高了，但会出现Runge现象，从而致使求积精度降低。由于三次样条插值逼近既能提高函数的光滑度，又能提高逼近精度，所以不难预见，基于三次样条插值的数值积分算法能较好解决Lagrange插值型数值积分算法的上述缺陷，同时，基于三次样条插值的数值积分算法在一般参考文献中鲜有报道，故对其的研究具有较为重要的实际意义。 关键词：三次样条插值；数值积分；算法  1、研究现有数值积分算法（Gauss型和插值型）的基本原理 1.1插值型数值积分算法的基本原理 插值型数值积分算法主要是通过插值逼近被积函数来构造数值积分公式。该类算法主要是基于Lagrange插值的数值积分算法，其中包括矩形法、梯形法、Simpson公式法、Newton-Cotes法等。 1.1.1、矩形法 考虑积分 记为积分区间的长度，所谓矩形法就是用一个长方形的面积来近似这个积分，该长方形底边长为区间长，高度为该函数在区间中点的值，即。 1.1.2、梯形法 梯形法跟矩形法类似，即。 1.1.3、Simpson公式法 积分的数值计算中最重要的理论基础是积分的区间可加性，即 函数在区间[a,b]上的积分，总等于它在区间[a,c]与[c,b]上的积分之和，而且这样的过程可以针对子空间继续下去。 利用函数的插值作为工具，我们也可以从另一个角度来看数值积分问题。设区间[a,b]的一个划分为。在分点上的线性Lagrange插值为 。 如果记，将上式两端在[]上积分可以得到。 这就是梯形方法。 不难发现，一类数值积分方法的基本思想总可以看成是：首先用一个简单的函数代替被积函数（矩形法是用阶梯函数近似被积函数，而梯形法是用分段线性Lagrange插值近似被积分函数），并用简单函数的积分近似所求函数的积分值。 现考虑用分段的二次Lagrange插值近似被积分函数。仍考虑积分。设区间[a,b]的一个分割为。在分点上的二次Lagrange插值为 如果假定是与的中点， 记，则经过简单的计算可以得到 。 这就是著名的Simpson公式。 如果再进一步假设所有节点{}是等距的，记，，则可以近似为： 。 这便是复化的Simpson公式。 1.1.4、Newton-Cotes法 Newton-Cotes法即用更高阶的插值来构造数值积分的方法，然而高阶插值有不稳定性，所以实用价值有限。 1.2、Gauss型数值积分算法的基本原理 矩形法、梯形法、Simpson公式法等，其形式都是，其中，称为积分节点，，称为求积系数（或称权），前几种数值积分方法的途径都可以视为：首先选定求积的节点，然后按某种原则确定权的大小。如果将{}和{}同时作为待定，使得求积公式有尽可能高的代数精度（节点数为，则代数精度最高为），这样的数值积分方法称为Gauss方法。 2、三次样条插值函数逼近的基本原理 以分段三次Hermite插值为基础，由 (1)函数表(,)(), , (3)三种边界条件中的某一种推导3次样条插值函数。 三次样条插值函数就是寻求一个三次函数来近似这个被积函数，从而计算积分。三次样条插值逼近既能提高函数的光滑度，又能提高逼近精度，所以不难预见。 3、三次样条插值函数的构造 三次样条插值函数的定义： 在区间[a,b]上取n+1个节点a=……=b， 若