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小学奥数教研会培训资料
时 间:2011年3月17日
地 点:大华311教室
内 容: 几何五大模型与构造思想
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几何五大模型与构造思想
概述:我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形,它们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。而解决不规则图形的面积我们可以直接用几何的五大模型或构造出五大模型来解决。
小升初必考知识点分析:随着小升初考察难度的增加,几何问题变得越来越难,一方面,几何问题仍是中学考察的重点,各个学校都更喜欢几何思维好的学生,这样更有利于小学和初中的衔接;另一方面,几何问题由于类型众多,很多知识点需要提前学,这就加快了学生知识的综合运用,而这恰恰是重点中学所期望的。
几何问题是小升初考试的重要内容,分值一般在12~14分(包含1道大题和2道左右的小题)。尤其重要的就是平面图形中的面积计算。几何从内容方面,可以简单的分为直线型面积(三角形、四边形为主)、圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积所涉及的五大模型近年来考的比较多,值得我们重点学习。
教法指导:1)理解五大模型的基本含义、性质及推导过程。
2)让学生学会利用五大模型解决一些简单的图形问题。
3)教会学生如何在图形问题中找出模型运用其性质来解决问题。
4)让学生尝试用构造思想构造出所需用的模型,进而解决问题。
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讲解部分
模型一、三角形的等积变换
我们已经知道三角形的面积计算公式:三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
(1)、等底等高的两个三角形面积相等;
(2)、两个三角形高相等,面积比等于它们的高之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如下左图
(3)、夹在一组平行线之间的等积变形,如上右图; 反之,如果,则可知直线AB平行于直线CD。
(4)、等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
(5)、三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
(6)、两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比。
等积变形拓展——鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如下图在中,D、E分别是AB、AC上的点,如图1(或D在BA的延长线上,E在AC上),则
例题1:如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长两倍到E,AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是
例题2:如图,将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是多少?
模型二、任意四边形模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①或者 ②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
例题:如图,某公园的轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分为四个部分,面积为1平方千米,的面积为2平方千米,的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?
例题2:(2008清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为多少?
模型三、相似三角形
(一)金字塔模型 (二)沙漏模型
所谓的相似三角形,说是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用性质及定理如下:
(1)、相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
(2)、相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
(3)、连接三角
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