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共1页 例3 不计轴力及剪力影响,计算A点垂直位移及B截面的转角 例4 桁架各杆EA相同,求AC间的相对位移 例5 求活塞环在P力作用下切口的张开量 (Energy methods) §2-4 单位荷载法 ? 莫尔定理 (Unit-load method mohr’s theorem) 一、莫尔定理的推导(Derivation of mohr’s theorem) 求任意点A的位移wA F1 F2 A A 图b 变形能为 a A 图 F1 F2 =1 F0 A F1 F2 图c wA F0=1 (1)先在A点作用单位力F0 ,再作用F1, F2力 (2)三个力同时作用时 任意截面的弯矩: 变形能: (Mohr’s Theorem) 桁架: 二、普遍形式的莫尔定理 (General formula for mohr’s theorem) 注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力. 三、使用莫尔定理的注意事项 (5)莫尔积分必须遍及整个结构. (1)M(x):结构在原载荷下的内力; (3)所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲; (2) ——去掉主动力,在所求 广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力; M (4) 与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立; M(x) 四.应用举例: 例1:如图所示:简支梁AB,跨长为L,抗弯刚度为 。其上受均布载荷作用,载荷集度为q,试求出梁跨中点C的 挠度 及端面B的转角 解:〈一〉求支反力RA,RB 由对称性: 〈二〉求 及 例2 已知: AD=DB=BC= ,求 A D B C AD段 ( ) A D B C A D B C DB段 ( ) A D B C BC段 ( ) (结果为“+”,说明 与单位力方向一至,即向下) 计算 l a C EI2 B A EI1 x1 x2 P l a C EI2 B A EI1 x1 x2 P M(x1)= -Px1 M(x2)= -Pa AB段 BC段 C B A x1 x2 1 AB段 BC段 M(x1)= -x1 M(x2)= -a = —— + —— Pa3 Pa3l 3EI1 3EI2 d y=?0a————— + ?0l————— M(x1) M(x1)dx M(x2) M(x2)dx EI1 EI2 C B A x1 x2 1 为求B截面的转角,在B截面施加单位力偶,有 AB段 BC段 M(x1)= 0 M(x2)= 1 得 q B= - —— Pal EI2 P A F D C B E 1 5 4 3 2 6 7 9 8 a a a 1 A F D C B E 1 5 4 3 2 6 7 9 8 a a a 欲求AC间的相对位移,可在AC间施加一对单位力,求出这时的内力,再应用莫尔积分求解 P P A B f M(f )= -PR(1-cosf ) * * (Energy methods)
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