2008全国高中数学联赛试题及答案.doc

2008年全国高中数学联赛试题及答案 一 试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．函数在上的最小值是 （ ）。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2．设，，若，则实数的取值范围为（ ）。 （A） （B） （C） （D） 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 （ ）。 （A） 　 （B） 　 （C） 　 　 （D） 4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。 （A）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3 　 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3 5．方程组的有理数解的个数为 （ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 6．设的内角所对的边成等比数列，则 的取值范围是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题9分，共54分） 7．设，其中为实数，，，，若，则 　 . 8．设的最小值为，则 　 . 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 　　种． 10．设数列的前项和满足：，，则通项= 　 ． 11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，，则= 　 . 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　 . 三、解答题（每小题20分，共60分） 13．已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： ． 14．解不等式 ． 第15题15．如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值． 第15题 解 答 1. 当时，，因此 ，当且仅当时取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．故选C. 2. 因为有两个实根 ，，故等价于且，即且，解之得．故选D。 3.方法一： 依题意知，的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有， ，，故．故选B。 方法二： 依题意知，的所有可能值为2、4、6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得 ， ， ， 因此．故选B。 4. 设这三个正方体的棱长分别为，则有，即。不妨设，从而，．故，只能取9、8、7、6 ． 若，则，易知，，得一组解． 若， 则，．但，即，从而或5．若，则无解；若，则无解．因此c=8时无解． 若，则，有唯一解，． 若，则，此时，即。故，但，所以，此时无解． 综上，共有两组解或，体积为（cm3）或（cm3）。故选A。 5. 若，则解得或 若，则由得． ① 由得． ② 将②式代入得． ③ 由①式得，代入③式化简得.易知无有理数根，故，由①式得，由②式得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或故选B。 6.设的公比为，则，而 　　． 因此，只需求的取值范围．因为成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必须且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取 值范围是．故选C。 7. 由题意知，由得，，因此，，． 8. ， (1) 时，当时取最小值； (2) 时，当时取最小值1； (3) 时，当时取最小值． 又或时，的c不能为， 故，解得，(舍去)． 9. 方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如 表示