示例8零用錢的期望值.docVIP

示例13 零用錢的期望值 目標： 學生能夠明白期望值的意義 學習單位：概率的簡單概念 學習階段：3 所需教材：試算表程式－Excel或計算機，檔案dh13_c.xls。 預備知識：算術平均數，實驗概率和理論概率的關係 活動內容： 教師首先將問題告訴學生並派發工作紙。 教師將學生分成四人一組。 教師要求學生開啟檔案dh13_c.xls。轉動指針30次，將每次試驗所得的零用錢數目記錄在工作紙上。 學生將所有數據輸入試算表內。 學生利用試算表程式計算首兩次試驗的算術平均數，首三次試驗的算術平均數，如此類推，從而包括學生在試驗中得出的所有數據。如果沒有試算表程式，學生可用計算機來計算。 學生繪畫一個以零用錢的算術平均數為縱軸和試驗總次數為橫軸的圖像。 教師要求學生猜想若試驗總次數增加時，圖像中的算術平均數會有什麼改變。 教師應提醒學生期望值的意義為在長遠來說，是零用錢的算術平均數的極限。 引入期望值的定義為加權平均數的一個應用。 工作紙: 零用錢的期望值 爸爸每天給兒子大明 30元零用錢。某一天，大明問爸爸可否多給他一些零用錢。爸爸向大明作出利用轉盤來決定零用錢的建議。參看圖。 大明轉動指針，若果指針停在$60部分，他可以得到$60零用錢；否則，他只可以得到$20零用錢。 估計大明在一個月(以三十天計算)可得零用錢多少？ 轉動指針。 將所得的零用錢數目紀錄在下表。 重覆上述步驟30次。 組別 : _____________ 記錄表 試 驗 零用錢數目 試 驗 零用錢數目 1 16 2 17 3 18 4 19 5 20 6 21 7 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 27 13 28 14 29 15 30 零用錢總數 你估計大明在一個月內共得到零用錢多少？_________________ 大明在這個月內平均每天的零用錢是多少？_________________ 教師注意事項： 教師可利用其他的工具，如骰子去代替電腦轉盤，並調適問題以配合課堂中的實際情況。 在學生得出期望值的正式定義前，學生可利用試算表的幫助直接觀察到當試驗次數足夠多時，零用錢的算術平均數將趨向一極限。期望值的概念由此建立。這概念的建立應該在引入定義前進行。 期望值作為加權平均數的應用來引入如下。假設在N次試驗中，n1次取得$60，n2次取得$20 (即N = n1 + n2)。零用錢的算術平均數的計算如下: (60(P(取得$60) + 20(P(取得$20) (當N足夠大時) 在這示例中，由於P(取得$60) = 和P(取得$20) =,故此零用錢的算術平均數趨向 = 30 (元)，即零用錢的期望值。 教師應提醒學生期望值乃是理論數值而非實驗結果的數值。 總括來說，大明應該期望每月可以得到零用錢 $30×30=$900。 數據處理 示例13 13.2 13.5 示例13 13.1 $ 60 $ 20