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时间序列模型归纳总结复习 随机时间序列分析的几个基本概念 一、随机过程(Stochastic Process) 定义 设（Ω,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，如果对于任意t∈T，都有一定义在（Ω,F ,P）上的随机变量X(t,ω)与之对应，则称随机变量族{X(t,ω),t∈T}为随机过程。简记为{X(t,),t∈T}或{Xt,t∈T }或XT 离散参数的随机过程也称为随机序列或（随机）时间序列。 上述定义可简单理解成： 随机过程是一簇随机变量{Xt,t∈T}，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。 当t={0,±1,±2,…}时，即时刻t只取整数时，随机过程{Xt,t∈T}可写成如下形式，{Xt,t=0,±1,±2,…}。此类随机过程Xt是离散时间t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。 对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即{Xt,t=0,±1,±2,…}就是一个离散随机序列。 二、时间序列的概率分布和数值特征 1、时间序列的概率分布 一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。 时间序列所有的一维分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),… 所有二维分布是：Fij(·，·)， i，j=0,±1,±2,…,(i≠j) 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。 2、时间序列的均值函数 一个时间序列的均值函数是指： 其中EXt表示在t固定时对随机变量Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(·)有关。 3、时间序列的协方差函数与自相关函数 与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数定义为： 其中Ft,s(X,Y)为（Xt，Xs）的二维联合分布。 类似可以定义时间序列的自相关函数，即： 时间序列的自协方差函数有以下性质： 对称性： 非负定性：对任意正整数m和任意m个整数k1, k2,。。。 km，方阵 为对称非负定矩阵。 时间序列的自相关函数同样也具有上述性质且有ρ(t,t)=1。 三、平稳随机过程 平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时间序列的统计分析。 （一）两种不同的平稳性定义： 严平稳：如果对于时间t的任意n个值和任意实数，随机过程的n维分布满足关系式： 则称为严平稳过程。 2、宽平稳：若随机过程的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足 （1） （2） 则称为宽平稳随机过程。通常说的平稳是指宽平稳。 二者的联系： （Ⅰ）严宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言一、二阶矩存在。 （Ⅱ）宽严，这是不言而喻的。 （Ⅲ）严平稳+二阶矩存在宽平稳。但反过来一般不成立。 （Ⅳ）对于正态过程来说，有：严平稳宽平稳 （二）平稳时间序列自协方差函数和自相关函数 为了叙述方便，常假定平稳时间序列的均值为零，即。 用以下记号表示平稳序列的自协方差函数，即 相应地，的自相关函数用以下记号 平稳序列的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质： 对称性：； 非负定性：对于任意正整数m， ， 为非负定对称方阵； 。 （三）平稳序列的样本统计量 样本均值 时间序列无法获得多重实现，多数时间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。即 上式的估计是无偏的。 样本自协方差函数 第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。 其它概率性质和偏自相关函数的定义将在以后章节介绍。 四、几类特殊的随机过程（序列）： 1、纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。 2、白噪声序列（White noise）：如果时间序列满足以下性质： （1） （2） 式中，当t≠s时，。称此序列为白噪声序列，简称白噪声。 白噪声是一种最简单的平稳序列。 （3）独立同分布序列：如果时间序列中的随机变量Xt,t=0,±1,±2,…,为相互独立的随机变量，而且Xt具有相同的分布，称这样的时间序列为独立同分布序列。 独立同分布序列是一种最简单的严平稳序列。 一般说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时称之为正态白噪声序列。 （4）独立增量随机过程：对于任意正整数n，任意，随机变量相互独立。简单地讲，就是任意两相邻时刻上的随机变量之差（增量）是相互独立的。 （5）二阶矩过程：若随机过程对每个的均值和方差存在，则称之为二阶矩过程。 （6）正态过程：若的有限维分