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谈如何有效利用课本习题 浙江省慈溪中学 卢亚明 “以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合的灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情景中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。”这是考试大纲对“能力立意”的解析。认真解读这段话，我们更能深刻地体会到平时复习乃至高考复习靠简单的拼时间、拼精力是不行的。随意拓宽和加深知识范围，刻意地追求某些特殊方法也是不行的。只有立足课本，关注大纲，研究高考才能把握重点，事半功倍。 有效利用课本习题是立足课本的重要体现，也是高考中能取得好成绩的关键之一。至于如何有效利用课本习题，笔者认为教师在教学中首先要做到以下五个方面： 一、追根溯源，注重过程教学. 题源1：求和： （人教版普通高中新课程实验教科书《数学5》（必修）P69习题2.5A组4（3））.这里研究 的情形。 数学解题过程要讲背景，要时刻关注学生已有的知识和经验，在学生的头脑中寻找 “源”，即思维的依据，真正做到言之有理。学生第一次见到“错位相减法”是推导等比数列求和公式的时候，教材中没有提出“错位相减法”的概念，那么正好可以利用这个课本习题重现这种方法，并同时讲清这种方法的“源”在哪里。通过通项公式，我们可以得到： ，对于这两个式子，我们可以进行很多运算，如： 以上各式的运算结果中的系数和指数位置除了最后一式都含有，而最后一式又好像跟题源中的求和式子扯不上关系。设想一下，是否能对和作另外的一种运算，使得的系数或指数位置上不含有。由此想到作如下运算： 比较分析以上所有式子，从右边看，只有最后一个式子简单明晰。继续尝试，由，得： 将上述个式子相加得： 从式就可以提炼出 “错位相减法”这种解法，并且可以推广到更一般的情形：若数列分别是等差、等比数列，则对应项乘积组成的新数列的前n项和都可以用此方法来解决。综上所述，解决此课本习题，“源”是通项公式本身和将其适当变形的思维方式。所以讲解课本习题也要做到“追根溯源”，使学生明白数学是自然的、清楚的。 二、拓展延伸，注重问题探究. 课本是课程标准的载体，是学生智能的生长点，是最重要的教学资源。对课本习题进行适当的挖掘和探究，能使知识和能力形成系统，产生良性迁移，达到弄通一题带动一串的效果，同时也能激发学生的探究兴趣，培养学生创新能力。 题源2：在中，若，那么点O在的什么位置？（人教版普通高中新课程实验教科书《数学4》（必修）P120复习参考题B组8）. 此题的答案是：O是的垂心。由此题出发，可以对平面向量中的三角形“四心”问题进行探究,如满足式子的点O是的外心；满足式子的点G是的重心；满足式子分别是中BC,AC,AB的长）的点O是的内心等等。并为学生提供一些关于“四心”的典型例题。如果学生程度还好的话，也可以介绍一下欧拉线。如下例： 例：已知的垂心H，重心G，外心O,求证：H、G、O三点共线，且 有。 对于此题可以产生许多小结论：如 有些课后习题确实有很好的拓展延伸价值，通过对习题进行适当的拓展延伸，可以提高学生的认知水平，对问题的本质有更清楚的认识，还能够丰富学生的解题经验，培养较好的思维能力。 三、横向联想，注重多解求优 题源3：已知，求证：。（人教版普通高中新课程实验教科书《数学4-5》（选修）P26习题2.2 第9题.） 证明1：因为所以。 上述是教师教学用书中的证法，现给出另外两种证法： 证明2： 又因为，所以 所以成立，以上各步均可逆，所以。 证明3：对于式，确立主变元，以为主变元，令 令 以上几种证法，分别采用了作差法、分析法、综合法、构造法，不仅沟通了不等式证明诸多方法的内在联系，深化了知识，而且从中也渗透了函数思想。通过这种多解求优的方式，可以极大的增添学生学习的兴趣和热情，同时也能培养学生勤思、善想、好问的良好学习习惯。 四、归纳整理，注重归类意识. 题源4：写出数列的前5项：（人教版普通高中新课程实验教科书《数学5》（必修）P38习题2.1A组4.） 题源5：已知数列中，，对这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？（人教版普通高中新课程实验教科书《数学5》（必修）P77复习参考题B组6.） 用题源4和题源5为引题让学生思考如下三个问题： （1）如何求这两题数列的通项公式？（2）是否还有其他类似的递推形式？（3）这些以递推形式给出的数列的通项公式又如何求？教师可以围绕通项公式求法这一核心问题，对各种以递推形式给出的数列的通项公式求法进行归纳整理，使学生从整体上把握所学知识的用途，对解决问题的种类、形式、所用的数学思想、方法等能做到心中有数。递推数列的常见类型： （1）型用叠加法（2）型用叠乘法 （3）型用待定系