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福建省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题10：四边形 选择题 1.（福建莆田4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 A． B． C． D． 【答案】C。 【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。 【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5。 由折叠的性质得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°。 ∴∠DCF=∠AFE。 ∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF= ∴tan∠AFE=tan∠DCF= 。故选C。 二、填空题 1.（福建福州4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=　 ▲ 　度． 【答案】270°。 【考点】直角梯形的性质，平行线的性质， 【分析】根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案：∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°。 2.（福建三明4分）如图，ABCD中，对角形AC，BD相交于点O， 添加一个条件，能使ABCD成为菱形．你添加的条件是 ▲ （不再添加辅助线和字母） 【答案】AB=BC（答案不唯一）。 【考点】平行四边形的性质，菱形的判定。 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形。所以AB=BC或AC⊥BD等。 3.（福建龙岩3分） 如图，菱形ABCD周长为8㎝．∠BAD=60°，则AC= ▲ cm。 【答案】2。 【考点】菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】∵菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60° ∴△AOB为 直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，OA=OC。 ∴OA=OA·sin∠OAB=。∴AC=2。 三、解答题 1.（福建福州12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为、(单位:,),，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE。 ∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC。∴△AOE≌△COF（ASA）。∴OE=OF。 ∴四边形AFCE为平行四边形。 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形。 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5。 ∴AF=5cm。 （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形。 ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA。 ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12﹣4t。 ∴5t=12﹣4t，解得t = QUOTE 。 ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， QUOTE t =秒。 ②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即,得； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即,得； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即,得。 综上所述，与满足的数量关系式是（）。 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质。 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长。 （2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，