福建省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12：押轴.doc

福建省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12：押轴题 解答题 1.（福建福州14分）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线： QUOTE 对称． （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B作直线BK∥AH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值． 【答案】解：（1）依题意，得，解得1=﹣3，2=1， ∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）。 ∵直线： QUOTE ， 当=﹣3时， QUOTE ，∴点A在直线上。 （2）∵点H、B关于过A点的直线： QUOTE 对称，∴AH=AB=4。 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点， 则AC=AB=2，HC= QUOTE 。 ∴顶点H（－1，） QUOTE 。 代入二次函数解析式，解得 QUOTE ， ∴二次函数解析式为 QUOTE 。 （3）直线AH的解析式为 QUOTE ，直线BK的解析式为 QUOTE ， 由 QUOTE ，解得 QUOTE 。∴K（3，） QUOTE 。则BK=4。 过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，过点K作KD⊥AB，垂足为点D。 ∵点H、B关于直线AK对称， ∴HN+MN的最小值是MB， QUOTE 。 且QM=MK，QE= KE= KD= QUOTE ，AE⊥QK。 ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值。 ∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°。由勾股定理得QB=8。 ∴HN+NM+MK的最小值为8。 【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，轴对称的性质，解二元一次方程组，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。 【分析】（1）解出方程，即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线即可判断A是否在直线上。 （2）根据点H、B关于过A点的直线： QUOTE 对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出，即可得到二次函数解析式。 （3）解方程组 QUOTE ，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案。 2.（福建泉州14分）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（，p）时， ①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___． ②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由． 【答案】解：（1） 1，，60°。 （2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ， ∵OE和OP是⊙Q的切线， ∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。 而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。 又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。 ∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。 ∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。 在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°， ∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。 ∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。 ∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。 ∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。 （3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。 理由如下：如图，连DM，ME， ∵DM为直径，∴∠DME=90°。 而DM垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。 ∴MF2=EF?FD。 设D（h，k），（h＞0，k=2r）， 则过M、D、N三点的抛物线的解析式为： y=a（x-h）2+k。 又∵M、N的纵坐标都为1， 当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。 ∴MN=2。∴MF=MN=。 ∴。∴ 。∴a=－1。 ∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的