基于马尔可夫链的市场占有率的预测.doc

市场占有率问题 摘要 本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策.马尔可夫（Markov） （1）目前的市场占有情况．若购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，那么A、B、C三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%．称（0.4，0.3，0.3）为目前市场的占有分布或称初始分布． （2）查清使用对象的流动情况．流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出．若从定货单得表1-0． 表（1-5） 顾客订货情况表 下季度订货情况 合计 来 自 A B C A 160 120 120 400 B 180 90 30 300 C 180 30 90 300 合计 520 240 240 1000 第二步 建立数学模型． 假定在未来的时期内，顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化，以1、2、3分别表示顾客买A、B、C三厂家的药这三个状态，以季度为模型的步长（即转移一步所需的时间），那么根据表（1-5），我们可以得模型的转移概率矩阵： 矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A厂的顾客下季度有40%仍买A厂的药，转为买B厂和C厂的各有30%．同样，第二行、第三行分别表示目前是B厂和C厂的顾客下季度的流向． 由P我们可以计算任意的k步转移矩阵，如三步转移矩阵： 从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504，0.252，0.244）知，B厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A厂的药，25.2%仍买B厂的，24.4%转向买C厂的药． 三、模型假设 1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变； 2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争； 3、没有其他促销活动吸引顾客。 四、模型的建立与求解 4.1模型背景 在考虑市场占有率过程中影响占有率的大量随机性因素后，可以认为这一过程充满着控制、反馈、反复，这与马尔柯夫链的过渡类状态有着相似之处，因此可将市场占有率问题认为是一个随机性马尔柯夫过程，即从一个时刻t到下一个时刻的状态变化是随机的。在群体数目较大或扩散时间t的单位选取较大时，我们假定群体数目的变化在时间上是连续的，可以建立一个随机过程模型研究。 4.2建立模型 根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对进行适当划分，计算得转移概率Pij ，通过Pij=P(X1 = j | X0 = i),可以得到P=，然后计算P(m)=,i,j。由此可构建市场占有率预测模型，即m阶的马尔柯夫链的转移矩阵： = = （1—1） 得到m阶的转移概率，就可以得到m个周期后的市场占有率的转移矩阵。 假设初始市场占有率为 ，则有m个周期之后的市场占有率为 即得 （1—2） 如果按公式（1-2）继续逐步求市场占有率，会发现，当m大到一定的程度，S (m) 将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为： ，且满足． 如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．按照实际意义，我们可以近似的看待最终的市场占有率，得出计算式： （1—3） 一般N个状态后的稳定市场占有率（稳态概率）可通过解方程组 （1—4） 求得最终稳态时的市场占有率P，而（1—4）的前N个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个． 4.3模型求解 设表示预测对象k季度以后的市场占有率，初始分布则为，市场占有率的预测模型为 （1-6） 现在，由第一步，我们有，由此，我们可预测任意时期A、B、C三厂家的市场占有率．三个季度以后的预测值为： 大致上，A 厂占有一半的市场，B厂、C厂各占四分之一．依次类推下去可以求得以后任一个季度的市场占有率，最终达到一个稳定的市场占有率。 当市场出现平衡状态时，从公式（1-3）可得方程如下： 由此得 经整理，并加上条件，得 上方程组是三个变量四个方程的方程组，在前三个方程中只有二个是独立的，任意删去一个，