线性方程组解题归纳.ppt

线性方程组 解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？ 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r (A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 2.设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T, 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是 3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，- 5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解 4.矩阵B 的各行向量都是 方程组 的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？ 解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵 r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=（1，-2，1，0，0）T, α2=(1,-2,0,1,0)T, B α3=(5,-6,0,0,1)T, B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。 题型3 含参数的线性方程组解的讨论 1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解； 2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论 ⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解； （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。 一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。 5.设线性方程组 （1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解； （2）设a1= a3 =k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。 解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。 （2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为 X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。） 6. 设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3线性相关时，方程组 解： （aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3） = 因为α1，α2，α3线性无关，所以向量组 aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3线性相关的充要条件是 即b(a2-1)=0 所以b=0或a=±1 方程组的增广矩阵（Ab）= 此时： 题型4 线性方程组的公共解、同解问题 情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。 6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ