结构动力学ch4-2.ppt

§4.2 结构动力 响应的数值解法 结构动力响应的微分方程为: 1、中心差分法（Central of difference method） 如果用差分公式表示位移向量对时间的导数，即（用位移表示速度、加速度） 利用方程 2、纽马克法（Newmark method） * 计算下列积分常数的值 在以上的几种方法中，所使用的控制方程都是由物理坐标直接建立的动力学方程,因此这几种方法均称为直接积分法。 * * 假设初始条件为: §4.2 结构动力响应的数值解法 1）可直接从一般的动力学方程出发，对简单的非耦合问题可能可以寻求用解析表达式表示的精确解。 求解结构动力响应问题: 2）如果通过变换不能消除耦合、任意阻尼、非线性等问题，则需要借助数值积分方法（numerical integration）进行响应分析。 数值积分得到的解为近似解，其误差依赖于每一步积分的截断误差和舍入误差，以及每步产生的误差在随后各步中的影响。 §4.2 结构动力响应的数值解法 截断误差和舍入误差: 前者与积分步长有关，后者取决于算法本身的稳定性。 为了提高计算精度、稳定性和降低计算费用，在积分时，假设在每个时间间隔 内，位移、速度、加速度按某种规律变化，从而产生了各种算法。 §4.2 结构动力响应的数值解法 则以中心时刻t的差分表示方程的近似表达式为 §4.2 结构动力响应的数值解法 §4.2 结构动力响应的数值解法 在 时刻和t时刻向量的值，可以表示体系在 时刻所应满足的方程。 求解方程 得到在 时刻的位移响应 计算t时刻的速度和加速度响应。 加速度的初始值 §4.2 结构动力响应的数值解法 初始条件只给出了 和 的值，而计算时需要知道 的值: 通过方程，可逐步解得各个时刻的 、 和 为时间步长的临界值， 为体系的最小周期，n为体系的自由度数。 保证计算收敛的关键 先进行自由振动， 求体系最小周期 §4.2 结构动力响应的数值解法 为了保证中心差分法的计算稳定性， 时间步长 就满足以下条件: §4.2 结构动力响应的数值解法 中心差分法的计算步骤： 1）初始值计算 * 形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]； * 确定初始位移 、速度 和加速度 ； * 选择时间步长 ，使 ，并计算 、 和 的值； * 计算 ； * 形成等效质量矩阵 ； §4.2 结构动力响应的数值解法 2）每一时刻的响应计算 * 计算时刻t的等效荷载 ； * 求解时刻 的位移 ； * 由差分公式计算时刻t的速度 和加速度 。 进一步求得的在时刻 的响应 、 也应满足方程: §4.2 结构动力响应的数值解法 时刻t的响应 、 、 满足微分方程: 纽马克法的思路是假定在时刻t和时刻 间的加速度值 介于 和 之间，即有 §4.2 结构动力响应的数值解法 取 ，则在此时段内的加速度为: 对一般情况，将 以时刻t为原点按一阶泰勒级数展开: §4.2 结构动力响应的数值解法 选取不同的控制参数 , 使 §4.2 结构动力响应的数值解法 代入下式可得到相应的速度响应 和加速度响应 。 §4.2 结构动力响应的数值解法 通过方程解得位移响应 ， 然后，从时刻 的响应出发，重复上述计算过程，就能求出以后各时刻的动力响应。 可以证明： 当 、且 时，纽马克算法无条件稳定（计算收敛），但计算精度与所选定的时间步长有关，当然也和荷载时间历程、体系固有特性等有关。 §4.2 结构动力响应的数值解法 纽马克法计算步骤： 1）初始值计算 * 形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C] ； * 确定初始位移 、速度 和加速度 * 选择时间步长 ，以及参数 和 ，使得 形成等效刚度矩阵 §4.2 结构动力响应的数值解法 2）每一时刻的响