电路基础与实践作者刘科第8章非正弦周期电流电路稳态课件.ppt

第8章 非正弦周期电流电路稳态分析 8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 8.2非正弦周期量的基本知识 8.3 非正弦周期电流电路的稳态分析 小结 第8章小结 本章主要研究非正弦交流电路，重点学习了非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量有效值的计算和非正弦交流电路中电压和电流以及平均功率的计算。对实际应用具有重要的理论和实际意义 * 电路基础与实践 第8章非正弦周期电流电路稳态分析 * * 8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 一、 非正弦周期电流电路的基本概念 变化的周期T和频率f （a） （b） （c） 图8-1 几种常见的周期非正弦波 （a）尖形波（b）矩形波（c）三角波 谐波分析法 图8-2 谐波分析法分析示意图 图8-3 矩形波的合成 二、 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 1．三角形式的傅里叶级数展开式 给定的周期函数f（t）的周期为T， 角频率 则f（t）的傅里叶级数展开式为 利用三角函数公式 式中a0， ak， bk称为傅里叶系数，可由下列积分求得: 各系数之间存在如下关系 A0是f（t）一周期时间内的平均值，称直流分量。k=1的正弦波称为基波； k=2的正弦波称为二次谐波；k=n的正弦波，称为n次谐波。当k为奇数时称为奇次谐波；k为偶数时，称为偶次谐波。 非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。 表1.1 部分电器图形符号 2．指数形式的傅里叶级数展开式 式中的Fk是复常数。 利用欧拉公式，我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数 例8-1 已知矩形周期电压的波形如图8-4所示。求u（t）的傅里叶级数。 图 8-4 矩形波 解 图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为 由式8-3可知: 由此可得 当k为奇数时 当k为偶数时 三、非正弦周期函数的傅里叶级数展开式的简化 综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简化。 3）周期函数为偶函数时，即满足f（t）= f（-t）波形对称于纵轴。如全波整流波形、矩形波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk=0，即无正弦谐波分量，只含余弦谐波分量，因为余弦函数本身就是偶函数。 周期函数表示为 在电路中遇到的非正弦周期函数，大多都具有某种对称性。在对称波 形的傅里叶级数中，有些谐波分量不存在。因此利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。 1）周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数的平均值等于零，傅里叶级数展开式中 a0=0，无直流分量。 2）周期函数为奇函数时，即满足f（t）= -f（-t），波形对称于原点。则a0=0，ak=0此时 例8-2 试把图8-5所示振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。 图 8-5 三角波 解 电压基波的角频率为 函数为奇函数，则a0=0，ak=0，此时 可得 四、非正弦周期函数的傅里叶级数查表求法 表8-1几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式 8.2非正弦周期量的基本知识 一、有效值、平均值平、均功率 1．有效值 周期函数f（t）的有效值定义式为 以周期电流为例，有效值定义式为 若将电流i分解成傅里叶级数 将该表达式代入电流i效值定义式得 将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开， 结果有以下四种类型: 电流i的有效值可按下式计算 同理， 非正弦周期电压的有效值为 所以， 非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为 例8-3 已知非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为i=100－63.7sinωt－31.8sin2ωt－21.1sin3ωt A ，求其有效值。 解 先求各次谐波有效值 所以由式8-5得 电流i的有效值为112.9A 2．平均值 实践中还会用到平均值的概念。以电流为例， 其定义为 即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。式8-8也称为整流平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。例如， 当 时， 其平均值为 同理， 电压平均值的表示式为 注意：非正弦交流电路中的直流分量和平均值是二个不同的概念， 应加以区分。 3．平均功率 设有一个二端